Cours de maths : Applications du produit scalaire

Equations de droites

Définition :
Un vecteur non nul n est dit normal à une droite (d) lorsque n est orthogonal à un vecteur directeur de la droite (d).

Remarque :
La droite d passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM . n =0.

Propriétés :
• Dans un repère orthonormé, si une droite d a pour équation ax + by + c = 0 (avec a≠0 ou b≠0), alors n(a;b) est un vecteur normal à d.
• Dans un repère orthonormé, si un vecteur non nul n(a;b) est normal à d, alors d a pour équation ax + by + c = 0.


Equations de cercles

Propriété 1 :
Soit cercle C le cercle de centre O(xO;yO) et de rayon R dans un repère orthonormé. Une équation de cercle C est :
(x - xO)² + (y - yO)² = R²


Propriété 2 :
Le cercle cercle C de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que :
MA . MB =0

produit scalaire et cercle


MA . MB =0⇔M ∈cercle C



Calculs de longueurs et d'angles dans un triangle

Soit un triangle ABC, on note a = BC, b = AC et c = AB.

Théorème de la médiane :

Soit I le milieu de [AB], on a :

CA2+CB2=2CI2+12AB2
Théorème de la médiane


Théorème d'Al-Kashi :

a² = b² + c² - 2bc×cos A ^
b² = a² + c² - 2ac×cos B ^
c² = a² + b² - 2ab×cos C ^
formules d al kashi


Propriété de l'aire d'un triangle : Dans un triangle ABC, d'aire S :

S = 12bc×sin A ^
S = 12ac×sin B ^
S = 12ab×sin C ^


Formule des sinus : Dans un triangle ABC :

asinA^ = bsinB^ = csinC^


Formules d'addition et de duplication


Formules d'addition : Pour tout nombre réel a et b :

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)


Formules de duplication : Pour tout nombre réel a :

cos(2a) = cos2(a) - sin2(a) 
cos(2a) = 2cos2(a) - 1 = 1 - 2sin2(a)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)




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