Cours de maths : Vecteurs

Notion de vecteur

Vecteurs et translation :
Soit A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan, l'unique point D tel que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu.
Cette translation est appelée la translation de vecteur AB

Exemple : (clique sur le bouton en bas à droite pour faire défiler l'animation)


Caractérisation d'un vecteur :
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur. On le représente par une flèche. On peut le noter u , v , w ... ou AB  , MN  ... où A, B, M et N sont des points du plan.
Exemples :
Attention à ne pas confondre sens et direction ! Ici, u et v ont même direction et même sens alors que u et w ont la même direction mais des sens contraires.

Attention aussi à l'ordre des lettres lorsqu'on nomme un vecteur ! La première lettre est toujours l'origine du vecteur. Ici, les vecteurs AB et CD ont la même direction mais des sens contraires.


Norme d'un vecteur :
La longueur d'un vecteur u s'appelle la norme de u et se note || u ||

Vecteurs égaux :
Deux vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Cela signifie que si deux vecteurs AB et CD sont égaux, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (Attention à l'ordre des lettres ! Il s'agit du quadrilatère ABDC et non ABCD.)
Exemple :


AB = CD .

ABDC est un parallélogramme.

Opposé d'un vecteur :
Le vecteur opposé au vecteur u est un vecteur de même direction et de même norme que u mais de sens opposé. On le note - u . L'opposé du vecteur AB est le vecteur BA
Exemples :


EF et GH ont même direction, même norme mais des sens opposés donc GH est un vecteur opposé au vecteur EF .

On peut écrire : EF = - GH = HG

Vecteur nul :
On appelle vecteur nul le vecteur qui a une norme égale à 0. On le note  0 . Il n'a ni sens, ni direction.
Quel que soit le point A du plan, AA = 0

Coordonnées d'un vecteur

Définition :
Dans un repère (O; I,J) les coordonnées d'un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que OM = u .
Exemples :


u = OM donc le vecteur u a pour coordonnées (3 ; -2).
On peut noter u  = (3 ; -2) ou u ( 3 -2 )
En pratique, on peut compter les carreaux en commençant par l'origine du vecteur, en se déplaçant sur l'axe des abscisses, puis sur l'axe des ordonnées pour arriver jusqu'à la pointe de la flèche.

Coordonnées du vecteur AB :
Dans un repère (O; I,J), si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées AB ( x B - x A y B - y A ) Exemples :


A(3 ; -2) et B(-1 ; 3).
Donc AB ( -1 - 3 3 - ( -2 ) ) , donc AB ( -4 5 )

On peut vérifier graphiquement que pour aller de A à B, on se déplace de -4 en abscisse, puis de +5 en ordonnées, d'où AB (-4;5)

Propriété :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan.

Somme de deux vecteurs

Définition :
En effectuant successivement une translation de vecteur u et une translation de vecteur v , on obtient une nouvelle translation. Le vecteur associé à cette translation est le vecteur u + v .

Remarque :


u + v = v + u

Relation de Chasles :
Quels que soient les point A, B et C du plan, on a :

AB + BC = AC

Règle du parallélogramme :
Soient les point A, B, C et D quatre points du plan.
ABDC est un parallélogramme si et seulement si AB + AC = AD

Propriété :
Soient u ( x y ) et v ( x' y' ) deux vecteurs du plan.
Le vecteur u + v a pour coordonnées ( x+x' y+y' ).

Exemple :
Si u ( 2 -7 ) et v ( -3 12 ), alors u+v ( 2 + ( -3 ) -7 + 12 ) , donc u+v ( -1 5 )

Opposé d'un vecteur, différence de deux vecteurs :
Si u ( x y ) et v ( x' y' ) , alors - u ( -x -y ) et u - v ( x-x' y-y' ).

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

Définition :
Soient k un nombre réel, et u( x y ) dans un repère du plan. Le vecteur ku est le vecteur de coordonnées ( k x k y ) dans le même repère.

Exemples :


u( 3 2 ).
AB=3u, donc AB( 3 × 3 3 × 2 ), donc AB( 9 6 ).
CD=-2u, donc CD( -2 × 3 -2 × 2 ), donc CD( -6 -4 ).


Propriétés : Soient k et k' deux nombres réels, et u et v deux vecteurs du plan.
(k + k')u = ku + k'u

k (k'u) = (k k')u

k (u + v) = ku + kv

Vecteurs colinéaires


Définition : Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que v = k u
Exemple :
u ( -7 3 ) et v ( 14 -6 ) sont colinéaires car v = -2u

Remarque :
Quel que soit le vecteur u, on a 0×u =0, donc le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs.

Propriété : Deux vecteurs u( x y ) et v( x' y ' ) sont colinéaires si et seulement si leur coordonnées sont proportionnelles, c'est à dire si et seulement si xy' = x'y.
Exemples :
1) Les vecteurs u ( 2 -3 ) et v ( -5 7,5 ) sont-ils colinéaires ?
2 × 7,5 = 15 et (-3) × (-5) = 15, donc u et v sont colinéaires.

2) Les vecteurs u ( 0 -4 ) et v ( 8 2 ) sont-ils colinéaires ?
0 × 2 = 0 et (-4) × 8 = -32, donc u et v ne sont pas colinéaires.

Parallélisme : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Exemple :
Soient A (-3 ; 4), B(2 ; 1), C(12 ; 0) et D(2 ; 6). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
AB ( 2 - ( -3 ) 1 - 4 ) , donc AB ( 5 -3 )
CD ( 2 - 12 6 - 0 ) , donc CD ( -10 6 )
CD =-2AB , donc AB et CD sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Alignement : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Exemple :
Soient A (-5 ; 3), B(1 ; 8) et C(-2 ; 5). Les points A, B et C sont-ils alignés ?
AB ( 1 - ( -5 ) 8 - 3 ) , donc AB ( 6 5 )
AC ( -2 - ( -5 ) 5 - 3 ) , donc AC ( 3 2 )
6 × 2= 12 et 5 × 3 = 15, donc AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.


Exercices :
Egalité de deux vecteurs
Somme de deux vecteurs
Différence de deux vecteurs
Relation de Chasles
Vecteurs et translation
Produit d'un vecteur par un réel
Combinaison linéaire de deux vecteurs
Vecteurs origine et extrémité


Fiche précédente :
Coordonnées dans un repère
Fiche suivante :
Taux d'évolution