Définition :
La norme d'un vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{AB}}$ est la longeur AB. On note $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖}$ = $\text{‖}\overrightarrow{\text{AB}}\text{‖}$ = AB
Propriétés :
• Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées (x;y), alors $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖}$ = $\sqrt{x\mathrm{²}+y\mathrm{²}}$
• Quel que soit le nombre réel 𝛌 et le vecteur $\overrightarrow{u}$, $\text{‖}𝛌\overrightarrow{u}\text{‖}$ = |𝛌|×$\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖}$.
• $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖}$ = 0 si et seulement si $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{0}$.

Définition :
Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le nombre réel noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ défini par :


Autre expression :


Exemple :


Remarque : ${\overrightarrow{u}}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}={\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖}}^2$

Expression analytique :
Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs de coordonnées respectives (x;y) et (x';y') dans un repère orthonormé, alors :


Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$(3;-2) et $\overrightarrow{v}$(-7;6). Calculer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=3\times \left(-7\right)+\left(-2\right)\times 6=-21+\left(-12\right)=-33$

Expression avec les normes et un angle :
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ distincts du vecteur nul :


Exemple :

Définition :
Dire que deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{v}$= $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont orthogonaux signifie que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est orthogonal à tout vecteur.

Propriété :
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.

Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-1;-2), B(2;3), C(7;-4) et D(-3;2). Montrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

$\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{c}2-\left(-1\right)\\ 3-\left(-2\right)\end{array}\right)$ , donc $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\text{CD}}\left(\begin{array}{c}-3-7\\ 2-\left(-4\right)\end{array}\right)$ , donc $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{CD}}=3\times \left(-10\right)+5\times 6=-30+30=0$, donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Règles de calcul :
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et tout nombre réel 𝛌.
• $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
• $\overrightarrow{u}(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$
• $\left(𝛌\overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{v}=𝛌(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs colinéaires.
• Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de même sens, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖}\times \text{‖}\overrightarrow{v}\text{‖}$.
• Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de sens contraire, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖}\times \text{‖}\overrightarrow{v}\text{‖}$.

Exemple : Sur la droite ci-dessous, chaque graduation représente une unité. • $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AD}}=\text{AB}\times \text{AD}=1\times 3=3$
• $\overrightarrow{\text{DE}}.\overrightarrow{\text{CA}}=-\text{DE}\times \text{CA}=-1\times 2=-2$

Identités remarquables :
Quels que soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :
• ${(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})}^2={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$.
• ${(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})}^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$.
• $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})={\overrightarrow{u}}^2-{\overrightarrow{v}}^2$.

Définition :
Soit M un point et (d) une droite du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite (d) est le point d'intersection H de la droite (d) et de la perpendiculaire à M passant par (d).
Propriété :
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs distincts non nuls tels que $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}$ et $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{\text{OB}}$, alors :
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text{OA}}.\overrightarrow{\text{OH}}$ où H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA).