Cours de maths : Récurrence et suites
Raisonnement par récurrence

Démonstration par récurrence :

Le raisonnement par récurrence est utilisé pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers n à partir d'un certain rang n0.
On procède par étapes :
• Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang n0.
• Hérédité : on vérifie que si la propriété est vraie à un certain rang k, alors elle est vraie au rang k+1.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang n0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n≥n0

Exemples :

1) Soit (Un) la suite définie par U0=5 et Un+1=0,5Un+4. Montrer par récurrence que Un≤8 pour tout n≥0.

• Soit P(n) = «Un≤8»
Initialisation : U0=5 et 5≤8 donc P(0) est vraie.
Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :
Uk ≤ 8
0,5Uk ≤ 0,5×8
0,5Uk+4 ≤ 0,5×8+4
Uk+1 ≤ 8

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et Un≤8 pour tout n≥0.

2) Soit (Vn) la suite définie par V0=1 et Vn+1=2Vn+3. Montrer par récurrence que Vn=2n+2-3 pour tout n≥0.

• Soit P(n) = «Vn=2n+2-3»
Initialisation : V0=1 et 20+2-3=22-3=4-3=1 donc P(0) est vraie.
Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :
Vk = 2k+2-3
Vk+1 = 2(2k+2-3)+3
Vk+1 = 2k+3-6+3
Vk+1 = 2k+3-3

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et Vn=2n+2-3 pour tout n≥0.

3) Montrer par récurrence que pour tout entier n≥1, k=1 n k2 = n(n+1)(2n+1) 6 .

• Soit P(n) = « k=1 n k2 = n(n+1)(2n+1) 6 »
Initialisation : k=1 1 k2 =1 et 1(1+1)(2×1+1) 6 =1 donc P(1) est vraie.
Hérédité : Supposons que P(n) soit vraie pour un certain entier n≥0, on veut montrer que P(n+1) est vraie.
P(n+1) = « k=1 n+1 k2 = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1) 6 »
(n+1)(n+2)(2(n+1)+1) 6 = (n+1)(2n²+3n+4n+6) 6 = (n+1)(2n²+7n+6) 6
Si P(n) est vraie, on a alors :
k=1 n k2 = n(n+1)(2n+1) 6
(n+1)2+ k=1 n k2 = n+12+ n(n+1)(2n+1) 6
k=1 n+1 k2 = 6(n+1)²+n(n+1)(2n+1) 6
k=1 n+1 k2 = (n+1)(6(n+1)+n(2n+1)) 6
k=1 n+1 k2 = (n+1)(6n+6+2n²+n) 6
k=1 n+1 k2 = (n+1)(2n²+7n+6) 6

donc P(n+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
Conclusion : la propriété est vraie pour n=1 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥1 et k=1 n k2 = n(n+1)(2n+1) 6 pour tout n≥1.

Etude du sens de variation d'une suite par récurrence

Rappels :
Pour étudier le sens de variations d'une suite, on peut :
• étudier le signe de un+1 - un
• comparer le quotient un+1un à 1 lorsque les termes de la suite sont strictement positifs
• étudier le sens de variation de f si u est définie par un = f(n).
Lorsque la suite est définie par une relation de récurrence du type un+1 = f(un), les méthodes précédentes ne permettent pas toujours de déterminer son sens de variation. On peut alors utiliser le raisonnement par récurrence.

Méthode :
• On peut montrer qu'une suite est croissante en montrant par récurrence que un+1≥un pour tout n∈ℕ

• On peut montrer qu'une suite est décroissante en montrant par récurrence que un+1≤un pour tout n∈ℕ


Exemple :

Soit (Un) la suite définie par U0=3 et Un+1=3Un-4. Montrer par récurrence que (Un) est croissante.

• Soit P(n) = «Un+1 ≥ Un»
Initialisation : U0=3 et U1=3×3-4=5 donc U1 ≥ U0 donc P(0) est vraie.
Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :
Uk+1 ≥ Uk
3Uk+1 ≥ 3Uk
3Uk+1-4 ≥ 3Uk-4
Uk+2 ≥ Uk+1

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et Un+1 ≥ un pour tout n≥0, donc la suite (Un) est croissante.
Remarque : le sens de variation d'une suite dépend de la valeur de son terme initial. Par exemple, si le premier terme de (Un) était égal à 1, on aurait : U0=1 et U1=-1 donc U0 ≥ U1. Avec un raisonnement par récurrence, on constate que (Un) serait décroissante.

Suites minorées, majorées, bornées :

Définitions :
• Une suite (Un) est majorée par un nombre réel M si Un ≤ M pour tout n∈ℕ. M est appelé un majorant de la suite (Un).
• Une suite (Un) est minorée par un nombre réel m si m ≤ Un pour tout n∈ℕ. m est appelé un minorant de la suite (Un).
• Une suite (Un) est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

1) Soit (Un) la suite définie pour tout entier n≥0 par Un=6-6n+1.
D'après la représentation graphique, (Un) semble bornée par 0 et 6.
En effet, pour tout entier naturel n , on a:
n ≥ 0
n+1 ≥ 1
0 ≤ 1n+1 ≤ 1
0 ≤ 6n+1 ≤ 6
-6 ≤ -6n+1 ≤ 0
0 ≤ 6-6n+1 ≤ 6
0 ≤ Un ≤ 6

Donc la suite (Un) est bien bornée par 0 et 6.
suite bornée


2) Soit (vn) la suite définie par V0=10 et pour tout entier n≥0 par Vn+1=0,5 Vn + 1.
D'après la représentation graphique, (Vn) semble bornée par 2 et 10.
Nous allons le démontrer par récurrence :
• Soit P(n) = «2 ≤ un ≤ 10»
Initialisation : V0=10 donc P(0) est vraie.
Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :
2 ≤ Vk ≤ 10
2×0,5 ≤ 0,5 Vk ≤ 10×0,5
1 ≤ 0,5 Vk ≤ 5
2 ≤ 0,5 Vk+1 ≤ 6
2 ≤ Vk+1 ≤ 10

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et 2 ≤ Vn ≤ 10 pour tout n≥0, donc la suite (vn) est bien bornée de 2 à 10.
suite définie par récurrence bornée

Remarques :
• Si une suite est majorée par un nombre réel M, alors tous les nombres supérieurs à M sont également des majorants de cette suite.
• Si une suite est minorée par un nombre réel m, alors tous les nombres inférieurs à m sont également des minorants de cette suite.

Propriétés :

• Si une suite est croissante, alors elle est minorée par son premier terme.
• Si une suite est décroissante, alors elle est majorée par son premier terme.

Exemples :

1) Soit (Un) la suite définie pour tout entier n≥0 par Un=n-2.
Un=f(n) avec f la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = x - 2. f est croissante, donc la suite (Un) est croissante. Or U0 = -2, donc la suite (Un) est minorée par -2.
suite croissante minorée



2) Soit (Vn) la suite définie par V0=7 et pour tout entier n≥0 par Vn+1=Vn-0,5n-0,5.
Vn+1-Vn=-0,5n-0,5<0 donc la suite (Vn) est décroissante. Or V0 = 7, donc la suite (Vn) est majorée par 7.
suite décroissante majorée



Exercices :
Raisonnement par récurrence
Etude du sens de variation d'une suite par récurrence
Conjecturer un majorant ou un minorant
Trouver un majorant ou un minorant d'une suite
Montrer par récurrence qu'une suite est bornée


Fiche précédente :
Suites géométriques
Fiche suivante :
Limites de suites