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Cours de maths : Suites numériques

Définition :

Une suite u est une fonction définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. L'image de l'entier naturel n par la suite u, noté u(n) ou plus souvent un est appelé terme d'indice n ou de rang n de la suite.

Exemple :
Soit u la suite des nombres premiers. On a u0 = 2, u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7 ...


Modes de génération d'une suite :

I) Suite définie par une formule explicite :
Soit f une fonction définie et dérivable sur [0; +∞[. On peut définir une suite u en posant pour tout n de ℕ, un = f(n).

Exemple :
Soit u la suite définie sur ℕ par un = 3n + 2. En posant f la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = 3x + 2, on a un = f(n).
u0 = 3 × 0 + 2 = 2,
u4 = 3 × 4 + 2 = 14,
u13 = 3 × 13 + 2 = 41.

II) Suite définie par une relation de récurrence :
On peut définir une suite par les deux données suivantes :
    • le premier terme de la suite
    • une expression d'un terme de la suite en fonction de terme(s) précédent(s).
On dit que la suite est définie par une relation de récurrence.

Exemples :
1) Soit u la suite définie par u0 = 3 et, pour tout n de ℕ, un+1 = 2un-4.
Chaque terme de la suite est donc égal au double du terme précédent diminué de 4.
En connaissant u0, on peut calculer u1 en utilisant la relation de récurrence :
u1 = 2u0 - 4 = 2 × 3 - 4 = 6 - 4 = 2
On peut alors calculer u2 : u2 = 2u1 - 4 = 2 × 2 - 4 = 0
On peut alors calculer u3 : u3 = 2u2 - 4 = 2 × 0 - 4 = -4
etc ...

2) Suite de Fibonacci :
Soit v la suite définie par v0 = v1 = 1 et, pour tout n de ℕ*, vn+2 = vn+1+vn.
Chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents.
En connaissant v0 et v1, on peut calculer v2 :
v2 = v1 + v0 = 1 + 1 = 2
v3 = v2 + v1 = 2 + 1 = 3
v4 = v3 + v2 = 3 + 2 = 5
v5 = v4 + v3 = 5 + 3 = 8
v6 = v5 + v4 = 8 + 5 = 13
etc ...


Sens de variations d'une suite :

Définitions :
• Dire qu'une suite u est strictement croissante signifie que, pour tout entier naturel n, un < un+1.
• Dire qu'une suite u est strictement décroissante signifie que, pour tout entier naturel n, un > un+1.
• Dire qu'une suite u est constante signifie que, pour tout entier naturel n, un = un+1.

Exemples :
1) La suite des nombres impairs : 1, 3, 5, 7, 9, ... est strictement croissante.
2) La suite u définie pour tout n appartenant à ℕ* par un = 1n : 1, 12, 13, 14, ... est strictement décroissante.

/!\ certaines suites ne sont ni décroissantes, ni constantes et ni croissantes, on dit qu'elles sont non monotones.
Exemple : Soit u la suite définie par un = (-1)n : 1, -1, 1, -1, 1, ... n'est ni croissante ni décroissante.

Méthode :
Pour étudier le sens de variations d'une suite, on peut :
• étudier le signe de un+1 - un
• comparer le quotient un+1un à 1 lorsque les termes de la suite sont strictement positifs
• étudier le sens de variation de f si u est définie par un = f(n).

Exemples :
1) Soit u la suite définie par u0 = 7 et un+1 = un + n + 1.
un+1 - un = un + n + 1 - un = n + 1 or n + 1 > 0 donc un+1 - un > 0 d'où un+1 > un.
u est donc strictement croissante.

2) Soit v la suite définie par vn = n2n.
Pour tout n non nul, vn est strictement positif, on peut utiliser la deuxième méthode.
vn+1vn=n + 12n+1× 2nn=n + 12n < 1 pour tout n > 1 donc v est strictement décroissante.

3) Soit w la suite définie par wn = n.
w est définie par wn = f(n) avec f(x) = x. f est strictement croissante sur ℝ donc la suite w est strictement croissante.

Exercices :
Suite définie sous forme explicite
Suite définie par une relation de récurrence
Exprimer en fonction de n
Sens de variation d'une suite (méthode 1)


Fiche précédente :
Applications de la dérivation
Fiche suivante :
Suites arithmétiques