jeuxmaths.fr






Cours de maths : Suites géométriques

Définition :

Dire qu'une suite u est géométrique signifie qu'il existe un nombre q tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q × un. Le nombre q est appelé la raison de la suite (un).

suites géométriques

Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite géométrique au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q.

Exemples :
1) La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32,... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
2) La suite v définie pour tout n appartenant à ℕ par vn = 12n : 1, 12, 14, 18, ... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 12
3) Soit w la suite définie pour tout entier naturel n par wn = 2 × 3n.
wn+1 = 2 × 3n+1 = 2 × 3n × 3 = wn × 3
De plus w0 = 2, donc w est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.


Formule explicite :

Pour calculer un terme d'une suite géométrique avec la définition par récurrence, il est nécessaire de connaître le terme précédent. La propriété suivante permet de trouver une formule explicite.
Si u est une suite géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n et p :

un = up × qn-p


Illustration formule explicite suites geometriques

En particulier, si p = 0, pour tout entier naturel n, on a :

un = u0 × qn


Illustration cas particulier formule suites geometriques

Exemples :
1) Soit u la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u0=4. Calculer u7.
Réponse :

D'après la deuxième formule, u7 = u0 × q7 = 4 × 37 = 4 × 2187 = 8748.

2) Soit v la suite géométrique de raison q=12 telle que u6=512. Calculer u9.
Réponse :

D'après la première formule, u9 = u6 × q9-6 = 512 × (12)3 = 512 × 18 = 64.


Somme des termes d'une suite géométrique :

I) Somme des puissances successives :
Pour tout entier naturel n non nul, si q ≠ 1, on a :
1 + q + q2 + ... + qn = 1 - qn+11 - q.

Démonstration :
On écrit sur une ligne la somme des termes dans l'ordre croissant, puis sur une seconde ligne, on écrit le produit de cette somme par q et on soustrait membre à membre les deux égalités.
S = 1 + q + q2 + ... + qn
+ qS = q + q2 + ... + qn + qn+1
S - qS = 1 + 0 + 0 + ... + 0 - qn+1

Donc S(1-q) = 1 - qn+1 et comme q ≠ 1, S = 1 - qn + 11 - q.

Exemple :
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 28 = S = 1 - 291 - 2=1 - 512-1=511.

II) Somme des termes d'une suite géométrique :
Soit u une suite géométrique. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est égale à :
S = premier terme ×1 - qnombre de termes1 - q.

Exemple :
Soit u la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 3.
Calculer la somme S = u0 + u1 + u2 + ... + u6.
Réponse :

S = 2 ×1 - 371 - 3 = 2 ×1 - 2187 -2 = 2186.

Exercices :
Déterminer la forme explicite d'une suite géométrique
Calculer un terme d'une suite géométrique


Fiche précédente :
Suites arithmétiques
Fiche suivante :
Variance et écart-type