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Cours de maths : Suites arithmétiques

Définition :

Dire qu'une suite u est arithmétique signifie qu'il existe un nombre r tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Le nombre r est appelé la raison de la suite (un).

suites arithmetiques

Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite arithmétique au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre r.

Exemples :
1) Soit u la suite des entiers naturels 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... u est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1
2) Soit v la suite des multiples de 3 : 0, 3, 6, 9, 12 ... v est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 3
3) Soit w la suite définie pour tout entier naturel n par wn = 4n + 7.
wn+1 - wn = 4(n+1) + 7 - (4n + 7) = 4n + 4 - 7 - 4n - 7 = 4
Donc wn+1 - wn = 4 d'où wn+1 = wn + 4.
De plus w0 = 7, donc w est la suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 4.


Formule explicite :

Pour calculer un terme d'une suite arithmétique avec la définition par récurrence, il est nécessaire de connaître le terme précédent. La propriété suivante permet de trouver une formule explicite.
Si u est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n et p :

un = up + (n-p)r


Illustration formule explicite suites arithmétiques

En particulier, si p = 0, pour tout entier naturel n, on a :

un = u0 + nr


Illustration cas particulier formule suites arithmétiques

Exemples :
1) Soit u la suite arithmétique de raison r=7 et de premier terme u0=5. Calculer u12.
Réponse :

D'après la deuxième formule, u12 = u0 + 12 × r = 5 + 12 × 7 = 5 + 84 = 89.

2) Soit v la suite arithmétique de raison r=3 telle que u5=49. Calculer u21.
Réponse :

D'après la première formule, u21 = u5 + (21 - 5) × r = 49 + 16 × 3 = 49 + 48 = 97.


Somme des termes d'une suite arithmétique :

I) Somme des entiers de 1 à n :
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)2.

Démonstration :
On appelle S la somme des entiers de 1 à n. On écrit sur une ligne la somme des termes dans l'ordre croissant, de 1 à n, puis sur une seconde ligne, on écrit cette somme dans l'ordre décroissant de n à 1 et on additionne membre à membre les deux égalités.
S = 1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n
+ S = n + n-1 + n-2 + ... + 2 + 1
2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1)

2S est donc égal à la somme de n termes tous égaux à (n+1) d'où 2S = n(n+1) soit S = n(n + 1)2.

Exemple :
1 + 2 + 3 + ... + 50 = 50(50 + 1)2 = 25 × 51 = 1275

II) Somme des termes d'une suite arithmétique :
Soit u une suite arithmétique. La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est égale à :
S = nombre de termes ×premier terme + dernier terme2.

Remarques :
• Si on note u0 le premier terme :
S = u0 + u1+ ... + un est égale à la somme des (n + 1) premiers termes de la suite et:
S = (n+1) × u0 + un2.

• Si on note u1 le premier terme :
S = u1 + u2 + ... + un est égale à la somme des n premiers termes de la suite et:
S = n × u1 + un2.

Exemple :
Soit u la suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 4.
Calculer la somme S = u0 + u1 + u2 + ... + u12.
Réponse :

La formule explicite de u est un = 4n + 1, donc u12 = 4 × 12 + 1 = 48 + 1 = 49.
Donc S = (12+1) × u0 + u122 = 13 × 1 + 492 = 13 × 25 = 325

Exercices :
Déterminer la forme explicite d'une suite arithmétique
Calculer un terme d'une suite arithmétique
Calculer la raison d'une suite arithmétique


Fiche précédente :
Suites numériques
Fiche suivante :
Suites géométriques