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Cours de maths : Nombre dérivé

Taux d'accroissement :
On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Soit a et b deux nombres réels appartenant à I (où a ≠ b). Le taux d'accroissement de f entre a et b est égal à:

f(b) - f(a)b - a

Interprétation graphique :


Soit Cf, la courbe représentative d'une fonction f. Soient A(a;f(a)) et B(b;f(b)) les deux points de la courbe d'abscisses a et b. Le taux d'accroissement de f entre a et b est égal au coefficient directeur de la sécante (AB).
taux d'acroissement

En notant h = b-a, le point B a pour coordonnées B(a+h;(f(a+h)) et le taux d'accroissement de f entre a et b est égal à

f(a+h) - f(a)h
taux de variation



Nombre dérivé :
La fonction f est dite dérivable en a, lorsque le taux d'accroissement de f entre a et a+h se rapproche d'un nombre L quand h se rapproche de 0, avec h ≠ 0.
Le nombre L est alors appelé nombre dérivé de f en a et est noté f'(a). On a donc :

f '(a) = limh→0f(a+h) - f(a)h.

Interprétation graphique :



Soit Cf, la courbe représentative de f. La droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est L = f'(a) est la tangente en A à la courbe Cf.
nombre dérivé et tangente



Equation de la tangente :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en un réel a de I. L'équation de la tangente à la courbe Cf au point A(a;f(a)) est :
y = f '(a)(x-a) + f(a)

Démonstration :
La tangente en A n'est pas parallèle à l'axe des abscisses, elle admet donc une équation de la forme y = mx + p.
• le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est égal au nombre dérivé de f en a, donc m = f'(a).
• le point A(a;f(a)) appartient à la tangente donc ses coordonnées vérifient :
yA = m × xA + p, donc f(a) = f'(a) × a + p d'où p = f(a) - f'(a) × a.
Donc y = f'(a) × x + f(a) - f'(a) × a c'est à dire y = f'(a)(x - a) + f(a).

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x².

1) Quel est le nombre dérivé de f en 3 ?
f(3+h) - f(3)h= (3+h)² - 3²h= 3² + 2×3×h + h² - 3²h= 6h + h²h= h(6+h)h= 6+h
donc limh→0f(3+h) - f(3)h= limh→0  6+h=6 , donc f '(3)=6

2) Quelle est l'équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 ?
T : y = f'(3) (x - 3) + f(3), avec f(3) = 3² = 9 et f'(3)=6
T : y = 6 ( x - 3) + 9
T : y = 6x - 18 + 9
T : y = 6x - 9



Exercices :
Lecture graphique du nombre dérivé
Equation de la tangente


Fiche précédente :
Fonction cube
Fiche suivante :
Fonction dérivée