Taux d'accroissement :
On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Soit a et b deux nombres réels appartenant à I (où a ≠ b). Le taux d'accroissement de f entre a et b est égal à:


Interprétation graphique :

Nombre dérivé :
La fonction f est dite dérivable en a, lorsque le taux d'accroissement de f entre a et a+h se rapproche d'un nombre L quand h se rapproche de 0, avec h ≠ 0.
Le nombre L est alors appelé nombre dérivé de f en a et est noté f'(a). On a donc :


Interprétation graphique :

Equation de la tangente :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en un réel a de I. L'équation de la tangente à la courbe Cf au point A(a;f(a)) est :

Démonstration :
La tangente en A n'est pas parallèle à l'axe des abscisses, elle admet donc une équation de la forme y = mx + p.
• le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est égal au nombre dérivé de f en a, donc m = f'(a).
• le point A(a;f(a)) appartient à la tangente donc ses coordonnées vérifient :
yA = m × xA + p, donc f(a) = f'(a) × a + p d'où p = f(a) - f'(a) × a.
Donc y = f'(a) × x + f(a) - f'(a) × a c'est à dire y = f'(a)(x - a) + f(a).

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x².

1) Quel est le nombre dérivé de f en 3 ?
$\frac{\text{f(3+h) - f(3)}}{\text{h}}=\frac{\text{(3+h)² - 3²}}{\text{h}}$
$=\frac{\text{3² + 2×3×h + h² - 3²}}{\text{h}}$
$=\frac{\text{6h + h²}}{\text{h}}$
$=\frac{\text{h(6+h)}}{\text{h}}$
$=\text{6+h}$

donc $\underset{\text{h→0}}{\text{lim}}\frac{\text{f(3+h) - f(3)}}{\text{h}}=\underset{\text{h→0}}{\text{lim}}\text{ 6+h}=6$, donc f '(3)=6

2) Quelle est l'équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 ?
T : y = f'(3) (x - 3) + f(3), avec f(3) = 3² = 9 et f'(3)=6
T : y = 6 ( x - 3) + 9
T : y = 6x - 18 + 9
T : y = 6x - 9