Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère.
• f est convexe sur I si pour tous réels a et b appartenant à I, C est en-dessous de la sécante (AB) ( avec A(a;f(a)) et B(b;f(b)) ) sur l'intervalle [a;b].
• f est concave sur I si pour tous réels a et b appartenant à I, C est au-dessus de la sécante (AB) ( avec A(a;f(a)) et B(b;f(b)) ) sur l'intervalle [a;b].

Exemples :

Définition :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I , C sa courbe représentative et A(a; f(a)) un point de C.
A est un point d’inflexion de C si la tangente à C en A traverse C en A.

Propriété :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative et A(a; f(a)) un point de C.
A est un point d’inflexion de C si la fonction f change de convexité en A.

Exemples :

Propriété :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

• f est convexe sur I si et seulement si f'' est positive sur I
• f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I

De même :
• f est concave sur I si et seulement si f'' est négative sur I
• f est convexe sur I si et seulement si f' est décroissante sur I

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = -7x² + 3x - 2
f est deux fois dérivable sur ℝ et f''(x)= -14
f'' < 0 sur ℝ donc f est concave sur ℝ

Propriété :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère.

• f est convexe sur I si et seulement si C est au-dessus de toutes ses tangentes.
• f est concave sur I si et seulement si C est en dessous de toutes ses tangentes.

Exemples :

Propriété :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans un repère et a un réel appartenant à I.

• Si f' change de variations en a, alors C admet un point d'inflexion au point d'abscisse a.
• Si f'' s'annule en changeant de signe en a, alors C admet un point d'inflexion au point d'abscisse a.

Exemple :

Soit f, la fonction définie sur ℝ par $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+5x^2+x+1$
$f\text{'}\left(x\right)=x^2+10x+1$
$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2x+10$
$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0\iff x=-5$
$f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$ pour tout $x\text{∈ ]-∞; -5[}$ et $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$ pour tout $x\text{∈ ]-5; +∞[}$ donc la courbe représentative de f admet un point d'inflexion au point d'abscisse -5.

Remarque : la courbe représentative d'une fonction peut admettre un point d'inflexion en a lorsque f''(a) n'existe pas.

Exemple :

Soit f, la fonction définie sur ℝ par $f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}}$
$f\text{'}\left(x\right)=\frac{5}{3}{x}^{\frac{2}{3}}$
$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{10}{9}{x}^{\frac{-1}{3}}=\frac{10}{9x^{\frac{1}{3}}}$
$f\text{'}\text{'}\left(0\right)$ n'existe pas.
$f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$ pour tout $x<0$ et $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$ pour tout $x>0$ donc la courbe représentative de f admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.