Rappel :
Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F. La composée de f suivie de g est la fonction notée g ○ f définie pour tout x de E par g ○ f(x)=g(f(x))

Exemple :
Soit f définie sur [0;+∞[ par $f\text{(}x\text{)}=\sqrt{x}$ et g définie sur ℝ par g(x)=x+3.
x+3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3, donc f ○ g est définie sur [-3;+∞[ et $f○g\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)=\sqrt{x+3}$

Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur un intervalle J tel que pour tout x ∈ I, f(x) ∈ J. La fonction g ○ f est alors dérivable sur I et pour tout x ∈ I :


Cas particuliers :
• La fonction f définie sur I par $f\text{(}x\text{)}=e^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur I et $f\text{'}\text{(}x\text{)}=u\text{'}\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$
• La fonction f définie sur I par $f\text{(}x\text{)}=\sqrt{u\left(x\right)}$ (avec u(x)>0 pour tout x ∈ I) est dérivable sur I et $f\text{'}\text{(}x\text{)}=\frac{u\text{'}\left(x\right)}{2\sqrt{u\left(x\right)}}$
• Soit n un entier naturel non nul et f la fonction définie sur I par $f\text{(}x\text{)}={\left(u\right(x\left)\right)}^n$ est dérivable sur I (avec u(x)≠0 pour tout x ∈ I si n≤1). Alors f est dérivable sur I et $f\text{'}\text{(}x\text{)}=nu\text{'}\left(x\right)\times {\left(u\right(x\left)\right)}^{n-1}$

Exemples :

1) Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par $f\text{(}x\text{)}=e^{3x^2+1}$

Solution : $f\text{(}x\text{)}=e^{u\left(x\right)}$ avec $u\left(x\right)=3x^2+1$.
$f\text{'}\text{(}x\text{)}=u\text{'}\left(x\right)e^{u\left(x\right)}=6x{e}^{3x^2+1}$

2) Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction f définie sur ]4;+∞[ par $f\text{(}x\text{)}=\sqrt{2x-8}$

Solution : $f\text{(}x\text{)}=\sqrt{u\left(x\right)}$ avec $u\left(x\right)=2x-8$.
$f\text{'}\text{(}x\text{)}=\frac{u\text{'}\left(x\right)}{2\sqrt{u\left(x\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{2x-8}}=\frac{1}{\sqrt{2x-8}}$

3) Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par $f\text{(}x\text{)}={(4x-7)}^5$

Solution : $f\text{(}x\text{)}={\left(u\right(x\left)\right)}^5$ avec $u\left(x\right)=4x-7$.
$f\text{'}\text{(}x\text{)}=5u\text{'}\left(x\right)\times {\left(u\right(x\left)\right)}^4=5\times 4\times {(4x-7)}^4=20\times {(4x-7)}^4$

4) Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par $f\text{(}x\text{)}=\frac{1}{{(2x+3)}^3}$

Solution : $f\text{(}x\text{)}={\left(u\right(x\left)\right)}^{\mathrm{-3}}$ avec $u\left(x\right)=2x+3$.
$f\text{'}\text{(}x\text{)}=-3u\text{'}\left(x\right)\times {\left(u\right(x\left)\right)}^{-4}=\frac{-3\times 2}{{(2x+3)}^4}=\frac{-6}{{(2x+3)}^4}$

Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f' est dérivable sur I, sa dérivée f'' est appelée fonction dérivée seconde de f. On la note aussi f⁽²⁾.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 4x² - 2x + 5
f est dérivable sur ℝ et f'(x)= 8x - 2
f' est dérivable sur ℝ donc f est deux fois dérivables sur ℝ et f''(x)= 8