Cours de maths : Continuité

Fonctions continues

Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
• La fonction f est continue en a si limx→a f(x) =f(a).
• La fonction f est continue sur I si f est continue pour tout réel x de I

Exemples :
fonction continue
Représentation graphique de la fonction f définie sur ℝ par :
f(x) = x² - 6x + 10

f est continue sur ℝ
fonction non continue
Représentation graphique de la fonction f définie sur ℝ par :
f(x)= -x²-4x-1 si x≤-2 -2x si x>-2
f n'est pas continue en -2, donc f n'est pas continue sur ℝ
fonction partie entière
Représentation graphique de la fonction partie entière
f n'est pas continue sur ℝ


Propriétés :
• Les fonctions affines, les fonctions polynômes, la fonction racine carrée et la fonction exponentielle sont continues sur leur ensemble de définition.
• Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
• Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ]-∞;4[ ∪ ]4;+∞[ par f(x)= 4x²+7x-5 4+x est continue sur ]-∞;4[ et est continue sur ]4;+∞[.

Remarque :
Une fonction continue sur un intervalle n'est pas toujours dérivable sur cet intervalle. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0.

Propriété :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, (Un) une suite à valeurs dans I et a un réel appartenant à I.
Si (Un) converge vers a, alors (f(Un)) converge vers f(a)

Exemple :
Soit (Un) la suite définie par U0=9 et Un+1=Un pour tout entier n≥0. (Un) est décroissante et minorée par 1 donc (Un) est convergente. (voir démonstration).
Soit l la limite de (Un). La fonction racine carrée est continue sur [0;+∞[, donc (Un) converge vers l. Or, (Un+1) = (Un) et par unicité de la limite, l est solution de l'équation x=x.
x=xx = x² et x≥0
x=xx = 0 ou x = 1
Or (Un) est minorée par 1, donc l=1.



Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (cas général) :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] où a et b sont deux réels tels que a<b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k.



Illustration :
théorème des valeurs intermédiaires
f est continue sur l'intervalle [a;b]
k ∈ [f(a);f(b)]
L'équation f(x) = k a trois solutions dans l'intervalle [a;b] : x1,x2 et x3.


Exemple :
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x) = x²-3x. Montrer que l'équation f(x) = 5 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;4]
Solution :La fonction f est continue sur [0;4] comme somme de fonctions continues.
f(0) = -30 = 0 et f(4) = -34 = 16-6 = 10 , donc 5 ∈ [f(0);f(4)].
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 5 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;4].

Théorème (cas d'une fonction strictement monotone) :
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] où a et b sont deux réels tels que a<b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k.

Illustrations :
Cas n°1
théorème des valeurs intermédiaires fonction strictement croissante
f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [a;b]
k ∈ [f(a);f(b)]
L'équation f(x) = k a une unique solution c appartenant à l'intervalle [a;b]

Cas n°2
théorème des valeurs intermédiaires fonction strictement décroissante
f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [a;b]
k ∈ [f(b);f(a)]
L'équation f(x) = k a une unique solution c appartenant à l'intervalle [a;b]


Exemple :
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x) = ex+4x-1. Montrer que l'équation f(x) = 3 admet une unique solution dans l'intervalle [0;1]
Solution :La fonction f est continue et dérivable sur [0;1] comme somme de fonctions continues et dérivables.
f '(x) =ex+4.
f '(x) > 0 pour tout x ∈ [0;1] donc f est strictement croissante sur [0;1]
f(0) = e0+4×0-1 = 1 - 1 = 0
f(1) = e1+4×1-1 = e + 3 , donc 3 ∈ [f(0);f(1)].
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 3 admet une unique solution dans l'intervalle [0;1].

Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique aussi sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert. Si une borne de l'intervalle est ouverte, alors on considère la limite de f en cette borne.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e-x-2x. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ℝ
Solution :La fonction f est continue et dérivable sur ℝ comme somme de fonctions continues et dérivables.
f '(x) =-e-x-2.
f '(x) < 0 pour tout x ∈ ℝ donc f est strictement décroissante sur ℝ
limx→-∞ f(x)=+∞
limx→+∞ f(x)=-∞ , donc limx→+∞ f(x) < 0 < limx→-∞ f(x)
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ℝ.


Exercices :
Déterminer graphiquement la continuité d'une fonction
Etudier la continuité d'une fonction
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires et nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k


Fiche précédente :
Convexité
Fiche suivante :
Variance et écart-type