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Cours de maths : Pyramide - cône de révolution


Pyramide : Une pyramide est un solide qui possède :
• Une base qui est un polygone
• Des faces latérales triangulaires qui ont un sommet commun : le sommet de la pyramide.
La hauteur d'une pyramide est la distance entre le sommet et la base de la pyramide.



Exemples :
Pyramide à base carrée
Pyramide à base carrée
Pyramide à base hexagonale
Pyramide à base hexagonale

Cas particulier : Une pyramide dont la base est un triangle est un tétraèdre.
Tétraèdre
Tétraèdre


Exercice :
Sommets, faces et arêtes d'une pyramide
Détermine la nature de la base d'une pyramide connaissant le nombre d'arêtes, de sommets ou de faces.


Patron d'une pyramide : le patron d'une pyramide est formé de sa base et des faces latérales triangulaires.

Exemples :
patron d une pyramide à base carrée
Patron d'une pyramide à base carrée
patron d une pyramide à base pentagonale
Patron d'une pyramide à base pentagonale


Volume d'une pyramide :
Le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par la hauteur.
Volume=Aire de la base×hauteur3



Exemple :
volume d une pyramide La base de la pyramide ABCDE ci-contre est le carré BCDE de côté 3 cm.
Calculons l'aire du carré BCDE :

ABCDE = BC×BE = 3×3= 9 cm²

La hauteur de la pyramide est AH = 4 cm.

Soit V le volume de la pyramide ABCDE :

V = 9×43 = 363 = 12 cm³

Exercice :
Volume d'une pyramide


Cône de révolution :
Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés droits.
cône de révolution

Un cône de révolution possède :
• Une base qui est un disque
• Une surface latérale.
• Un sommet .
L'axe du cône est la droite qui passe par le centre de la base et le sommet de la pyramide.
La hauteur du cône est la distance séparant le centre de la base et le sommet de la pyramide.


Patron d'un cône de révolution : le patron d'un cône de révolution est formé d'un disque (la base) et d'une portion de disque.
Le rayon de la portion de disque est égal à la longueur d'une génératrice.
La longueur de l'arc de cercle est égale au périmètre du disque de la base.


Exemple : Tracer le patron d'un cône de révolution de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm.
exemple patron cone


patron d un cône de révolution


Patron d'un cône de révolution
de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm
Pour déterminer la longueur du rayon de la surface latérale, il faut calculer la longueur d'une génératrice.

Dans le triangle AGH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on a :

AG² = AH² + HG²
AG² = 4² + 3²
AG² = 16 + 9
AG² = 25
AG = 5 cm

Le rayon de la portion de disque représentant la surface latérale est égal à 5cm.

Pour déterminer l'angle de la portion de disque, on utilise un tableau de proportionnalité pour que le périmètre de l'arc de cercle soit égal au périmètre du disque de la base.
Angle (en°) 360 x
Périmètre de l'arc de cercle 10 π 6 π

x = 360×6π10π = 216°



Volume d'un cône de révolution :
Le volume d'un cône de révolution est égal au tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.

Volume=Aire de la base×hauteur3

Exemple :
volume d un cone La base est un disque de rayon 3 cm.
Calculons l'aire d'un disque de rayon 3 cm :

A = π × R² = π × 3² = 9 × π ≈ 28,3 cm².

La hauteur du cône est égale à 4 cm.

Soit V le volume du cône :
V28,3×43
V ≈ 37,7 cm³

Exercice :
Volume d'un cône



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Cosinus d'un angle aigu
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Trigonométrie