Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Interprétation géométrique :
Le triangle EFG est rectangle en F.
L'aire du carré de côté [EG] (en rouge) est égale à la somme des aires du carré de côté [EF] (en bleu) et du carré de côté [FG] (en jaune).
EG² = EF² + FG²
Illustration du théorème de Pythagore avec de l'eau :
Voici une très belle vidéo qui illustre parfaitement le théorème de Pythagore : l'eau contenue dans le grand carré va remplir exactement les deux petits carrés et inversement.
Démonstration :
On considère un triangle rectangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c (c est la longueur de l'hypoténuse). En utilisant les figures 1 et 2 ci-dessous, nous allons montrer que c² = a² + b².
Les deux figures représentent deux carrés de côtés a + b.
Par découpage, on constate que les aires des surfaces vertes des figures 1 et 2 sont égales.
Autrement dit : c² = a² + b²
Puzzles :
Il existe de nombreuses autres démonstrations du théorème de Pythagore. Les puzzles de Pythagore consistent à reconstituer le carré de l'hypoténuse à partir des carrés des deux autres côtés. Je vous propose ci-dessous deux puzzles à résoudre.
Premier puzzle :
Deuxième puzzle :
Troisième puzzle
Un peu plus difficile que les deux précédents (il faut penser à pivoter certaines pièces). Il y a deux solutions, arriverez-vous à les retrouver ?
Calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle :
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que AC = 2,8 cm et AB = 4,5 cm. Calculer la longueur du segment [BC].
Le triangle ABC est rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
BC² = AC² + AB²
BC² = 2,8² + 4,5²
BC² = 7,84 + 20,25
BC² = 28,09
Le nombre positif dont le carré est égal à 28,09 est noté , donc :
BC =
En utilisant la touche de la calculatrice, on obtient :
BC = 5,3 cm
Calculer la longueur d'un côté adjacent à l'angle droit d'un triangle rectangle :
Exemple : EFG est un triangle rectangle en E tel que EG = 4,8 cm et FG = 7,3 cm. Calculer la longueur du segment [EF].
Le triangle EFG est rectangle en E.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
FG² = EF² + EG²
7,3² = EF² + 4,8²
EF² = 7,3² - 4,8²
EF² = 53,29 - 23,04
EF² = 30,25
Le nombre positif dont le carré est égal à 30,25 est noté , donc :
EF =
En utilisant la touche de la calculatrice, on obtient :
EF = 5,5 cm
Réciproque du théorème de Pythagore : Si le carré de la longueur du plus long côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Exemple :
IJK est un triangle tel que IJ = 6,5 cm et JK = 7,2 cm et IK = 9,7 cm. Montrer que IJK est un triangle rectangle en J.
Dans le triangle IJK, le plus long côté est [IK].
D'une part : IK² = 9,7² = 94,09
D'autre part : IJ² + JK² = 6,5² + 7,2² = 42,25 + 51,84 = 94,09
Donc IK² = IJ² + JK²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en J.
Le triangle ABC est rectangle en B.
L'hypoténuse du triangle ABC est le côté [AC].