Cours de maths : Variance et écart-type

On considère la série statistique définie par le tableau suivant :
Valeur x1 x2 ... xp
Effectif n1 n2 ... np
L'effectif total de cette série est N = n1 + n2 + ... + np

Rappel : La moyenne de cette série statistique est le nombre réel x tel que :

x=n1x1+n2x2+...+npxpN


Définitions :
• La variance d'une série statistique est le nombre réel, noté V, défini par :

V=n1(x1-x)2+n2(x2-x)2+...+np(xp-x)2N

• L'écart-type d'une série statistique est le nombre réel, noté σ, défini par σ = V.
La variance et l'écart-type sont des paramètres de dispersion d'une série statistique.
L'avantage de l'écart-type est de s'exprimer dans la même unité que les xi

Exemple :
Les notes obtenues par les élèves d'une classe de première ES au dernier devoir de mathématiques ont été récapitulées dans le tableau ci-dessous:
Note 5 7 9 10 11 12 13 15 17
Effectif 2 3 1 5 7 7 4 1 2

x = 2 × 5 + 3 × 7 + 1 × 9 + 5 × 10 + 7 × 11 + 7 × 12 + 4 × 13 + 1 × 15 + 2 × 17 2 + 3 + 1 + 5 + 7 + 7 + 4 + 1 + 2 = 352 32 = 11
La moyenne du devoir est de 11

V=2×(5-11)2+3×(7-11)2+1×(9-11)2+5×(10-11)2+7×(11-11)2+7×(12-11)2+4×(13-11)2+1×(15-11)2+2×(17-11)232

V=2×36+3×16+1×4+5×1+7×0+7×1+4×4+1×16+2×3632

V=72+48+4+5+0+7+16+16+7232=24032=7,5

La variance de cette série est égale à 7,5 et l'écart-type σ = 7,5 ≈ 2,74

Utilisation de la calculatrice :
-> Avec le mode stat des modèles Casio :
1) Choisir le menu stat et compléter les deux premières colonnes list1 et list2 par les valeurs de la série moyenne avec casio
2) Choisir calc (f2) puis Set (f6) puis choisir List1 pour la ligne 1Var Xlist et List2 pour la ligne 1Var Freq ecart type avec casio
3) Taper exit puis 1var (f1), lire les valeurs de la moyenne et de l'écart-type (xσn) ici : 2.73861278 variance avec casio


-> Avec la touche Stat des modèles TI :
1) Taper la touche Stat puis edit (1) moyenne avec ti
2) Compléter les deux premières colonnes (L1 et L2) variance avec ti
3) Taper Stat puis choisir calc puis 1-Var stats L1,L2 ecart-type avec ti
4) Il suffit alors lire les valeurs de la moyenne et de l'ecart-type (noté σx) ici : 2.738612788 ecart-type avec ti


Remarque : La calculatrice ne fournit pas la valeur de la variance, pour la retrouver, il suffit d'élever la valeur de l'écart-type au carré.


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