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Cours de maths : Moyenne, médiane, étendue et quartiles


Moyenne :
Définition : La moyenne d'une série de valeurs est égale à la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total de la série.

Exemples :
a) Moyenne simple :
Thomas a obtenu les notes suivantes au cours du premier trimestre en mathématiques : 12 - 15 - 9 - 16.
M = 12 + 15 + 9 + 16 4 = 52 4 = 13
Thomas a donc obtenu 13 de moyenne.

b) Moyenne à partir d'un tableau :
Les notes des élèves d'une classe de cinquième du dernier devoir de mathématiques ont été récapitulées dans le tableau ci-dessous:
Note 7 9 10 11 12 14 15 17
Effectif 2 3 2 5 7 3 2 1

M = 2 × 7 + 3 × 9 + 2 × 10 + 5 × 11 + 7 × 12 + 3 × 14 + 2 × 15 + 1 × 17 2 + 3 + 2 + 5 + 7 + 3 + 2 + 1 = 289 25 = 11,56
La moyenne du devoir est de 11,56




Médiane :
Définition : Lorsqu'une série statistique est ordonnée, la médiane est la valeur qui partage cette série en deux séries de même effectif. Il y a donc autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures.

Exemples :
a) Médiane simple (effectif total impair) :
Quelle est la médiane de la série suivante : 7 ; 4 ; 13 ; 14; 9 ; 2 ; 16 ?
→ On commence par ordonner la série, c'est à dire que l'on range les valeurs dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 13 ; 14 ; 16.
→ On calcule l'effectif total de la série : ici, l'effectif total est égal à 7 (il y a 7 valeurs).
→ (7+1)/2 = 4 donc la médiane est la quatrième valeur. La médiane Me est donc égale à 9, il y 3 valeurs inférieures et 3 valeurs supérieures : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 13 ; 14 ; 16.
Me = 9.

b) Médiane simple (effectif total pair) :
Quelle est la médiane de la série suivante : 8 ; 14 ; 3 ; 19 ; 24 ; 52 ; 1 ; 6 ; 10 ; 37 ?
→ On commence par ordonner la série : 1 ; 3 ; 6 ; 4 ; 10 ; 14 ; 19 ; 24 ; 37 ; 52.
→ On calcule l'effectif total de la série : ici, l'effectif total est égal à 10 (il y a 10 valeurs).
→ (10+1)/2 = 5,5 donc la médiane est la moyenne entre la cinquième et la sixième valeur. La médiane Me est donc égale à (10+14)/2 = 12, il y 5 valeurs inférieures et 5 valeurs supérieures :
1 ; 3 ; 6 ; 4 ; 10 ; 14 ; 19 ; 24 ; 37 ; 52.
Me = 12.

c) Médiane à partir d'un tableau :
Quelle est la médiane de la série suivante ?
Valeur 12 14 20 25 43 47
Effectif 5 7 14 5 2 32

→ On commence par calculer l'effectif total : 5 + 7 + 14 + 5 + 2 + 32 = 65
→ (65+1)/2 = 33, la médiane Me de la série est donc la 33ème valeur, donc : Me = 43.




Étendue :
Définition : L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

Exemples :
a) Cas simple :
Quelle est l'étendue de cette série : 24 ; 7 ; 1 ; 9 ; 46 ; 15.
La plus grande valeur est 46 et la plus petite est 1.
46 - 1 = 45, donc l'étendue de la série est égale à 45.

b) Étendue à partir d'un tableau :
Quelle est l'étendue de la série ci-dessous:
Valeur 5 7 12 15
Effectif 2 7 9 25

La plus grande valeur est 15 et la plus petite est 2 donc l'étendue est égale à 15 - 2 = 13.




Quartiles :
Définitions : Le premier quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q1 telle qu'au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à Q1
Le troisième quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q3 telle qu'au moins trois quarts des valeurs sont inférieures ou égales à Q3

Exemple :
Déterminer le premier et le troisième quartile de la série :
24 ; 7 ; 2 ; 9 ; 13 ; 5 ; 32 ; 8; 15.
→ On commence par ordonner la série : 2 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 13 ; 15 ; 24 ; 32.
→ On calcule l'effectif total : 9.
→ 9 ÷ 4 = 2,25 , donc le premier quartile est la 3ème valeur : Q1 = 7
→ 3×(9 ÷ 4) = 6,75 , donc le premier quartile est la 7ème valeur : Q3 = 15
2 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 13 ; 15 ; 24 ; 32.
Conclusion : Q1 = 7 et Q3 = 15

Exercices :
Moyenne d'une série statistique simple
Moyenne pondérée d'une série statistique
Médiane d'une série statistique simple
Médiane d'une série statistique à partir d'un tableau
Quartiles d'une série statistique simple
Quartiles d'une série statistique à partir d'un tableau
Étendue d'une série statistique simple
Interprétation des paramètres d'une série statistique

Énigmes :
Moyenne de classe
L'âge du capitaine

Fiche précédente :
Effectif et fréquence
Fiche suivante :
Probabilité