Énoncé :

Calculer la longueur du segment [IP] sachant que KI = 2,2 cm, JI = 3 cm, IQ = 4,5 cm et que les droites (JK) et (PQ) sont parallèles.

Solution :


Les droites (KP) et (JQ) sont sécantes en I et les droites (JK) et (PQ) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a:

$\frac{\mathrm{IK}}{\mathrm{IP}}=\frac{\mathrm{IJ}}{\mathrm{IQ}}=\frac{\mathrm{KJ}}{\mathrm{QP}}$
donc $\frac{\mathrm{2,2}}{\mathrm{IP}}=\frac{3}{\mathrm{4,5}}$
donc $\mathrm{IP}=\frac{\mathrm{2,2}\times \mathrm{4,5}}{3}=\mathrm{3,3}$
donc IP = 3,3 cm.

Énoncé :

Montrer que les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Solution :


Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A.
D'une part : $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AN}}=\frac{3}{5}=\mathrm{0,6}$
D'autre part : $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{4}{7}\approx \mathrm{0,57}$
donc $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AN}}\ne \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}$
donc les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles, sinon les rapports précédents seraient égaux d'après le théorème de Thalès.

• Les droites (TS) et (UV) sont sécantes en R.
• D'une part $\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{RS}}=\frac{7}{5}=\mathrm{1,4}$ ,
d'autre part $\frac{\mathrm{RU}}{\mathrm{RV}}=\frac{\mathrm{3,5}}{\mathrm{2,5}}=\mathrm{1,4}$ ,
donc $\frac{\mathrm{RU}}{\mathrm{RV}}=\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{RS}}$
• De plus, les points R, S, T et R, V, U sont alignés dans cet ordre.
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (SV) et (TU) sont parallèles.