Définition :
Soient A et B deux évènements de Ω tels que P(B)≠0.
La probabilité que l'évènement A soit réalisé sachant que B est réalisé (on dira simplement probabilité de A sachant B) est notée $P_B\left(A\right)$.
La probabilité de A sachant B est définie par :


Exemple :
Une société comprend 25% de cadres. De plus 10% de la totalité des employés sont des hommes et sont cadres . On interroge au hasard un employé de cette entreprise. Quelle est la probabilité que l'employé interrogé soit un homme sachant que c'est un cadre ?

On note C l'évènement «l'employé interrogé est un cadre» et H l'évènement «l'employé interrogé est un homme».
D'après l'énoncé, on a P(C) = 0,25 et P(C∩H) = 0,1.
$P_C\left(H\right)=\frac{P(C\cap H)}{P\left(C\right)}=\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,4}$
Donc la probabilité que l'employé interrogé soit un homme sachant que c'est un cadre est égale à 0,4.

Conséquence :
Soient A et B deux évènements de Ω tels que P(B)≠0.


Exemple :
Lors d'un sondage, 80% des personnes interrogées parlent anglais, et parmi elles, 30% parlent espagnol. On choisis au hasard une personne interrogée lors de ce sondage, quelle est la probabilité que cette personne parle anglais et espagnol ?

On note A l'évènement «la personne interrogée parle anglais» et E l'évènement «la personne interrogée parle espagnol».
D'après l'énoncé, on a P(A) = 0,8 et $P_A\left(E\right)=$ 0,3
$P(A\cap E)=P\left(A\right)\times P_A\left(E\right)$ = 0,8 × 0,3 = 0,24
Donc la probabilité que la personne interrogée parle anglais et espagnol est égale à 0,24.

Cas général :
On peut représenter une expérience faisant intervenir des probabilités conditionnelles par un arbre pondéré.


Exemple :

Définition :
Les évènements A₁, ... ,A_n (avec n entier supérieur ou égal à 2) forment une partition de l'univers Ω lorsque:

• pour tout entier i tel que 1≤i≤n , A_i ≠ 0.
• pour tous entiers i et j tel que 1≤i≤n et 1≤j≤n et i ≠ j , A_i ∩ A_j = Ø.
• A₁ ∪...∪ A_n = Ω


Exemple :


Cas particulier :


Formule des probabilités totales :

• Cas général :
Si B₁, ... ,B_n (avec n entier supérieur ou égal à 2) forment une partition de l'univers Ω , alors :
ou
• Cas particulier :
Si B est un évènement de probabilité non nulle et inférieure à 1, alors pour tout évènement A, on a :
ou

Exemple :

Réponse: Les évènements A, E et I forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a:
$P\left(G\right)=P\left(A\right)\times P_A\left(G\right)+P\left(E\right)\times P_E\left(G\right)+P\left(I\right)\times P_I\left(G\right)$
$P\left(G\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,45}+\mathrm{0,55}\times \mathrm{0,5}+\mathrm{0,15}\times \mathrm{0,60}$
$P\left(G\right)=\mathrm{0,135}+\mathrm{0,275}+\mathrm{0,09}$
$P\left(G\right)=\mathrm{0,5}$ La probabilité que l'élève soit un garçon est égale à 0,5.

Définition :
On dit que deux évènements A et B sont indépendants si :


Propriétés :
Si deux évènements A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants.

Propriétés :
Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles.
• A et B sont indépendants si et seulement si $P\left(B\right)=P_A\left(B\right)$ (autrement dit, la probabilité de B n'est pas influencée par la réalisation ou non de A)
• A et B sont indépendants si et seulement si $P\left(A\right)=P_B\left(A\right)$ (autrement dit, la probabilité de A n'est pas influencée par la réalisation ou non de B)

Exemple :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On C l'évènement «la carte tirée est un coeur» et D l'évènement «la carte tirée est une dame».
P(C) = 8/32 = 1/4 et P(D) = 4/32 = 1/8, d'où P(C)×P(D) = 1/32.
L'évènement C∩D n'a qu'une issue ( la dame de coeur), donc P(C∩D) = 1/32.
Donc P(C∩D)= P(C)×P(D), donc les évènements C et D sont indépendants.