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Cours de maths : Probabilité


Expérience aléatoire :
Définition : Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est incertain.

Exemples :

Expérience 1 Expérience 2 Expérience 3
« Je lance une pièce de monnaie et je regarde la face supérieure »
pile ou face
« Je lance un dé non truqué et je regarde le nombre de points sur la face supérieure »
lancer de dé
« je tire une boule dans une urne contenant 2 boules bleues 1 boule rouge et 1 boule verte et je regarde la couleur »


Issue : Chacun des résultats possibles d'une expérience aléatoire est une issue.

Exemples :

La pièce Le dé L'urne
Les issues sont Pile et Face : {P;F} Les issues sont les nombres entiers compris entre 1 et 6 : {1;2;3;4;5;6} Les issues sont Bleu, Rouge et Vert : {B;R;V}


Événement : Un événement est défini par une condition conduisant à zéro, une ou plusieurs issues.

Exemples :

La pièce Le dé L'urne
A = « Obtenir pile » B = « Obtenir un nombre pair » C = « Obtenir une boule rouge »


Remarques :
• un événement constitué de toutes les issues est appelé événement certain.
• un événement constitué d'aucune issue est appelé événement impossible.
• un événement constitué d'une seule issue est un événement élémentaire.




Probabilité :
Définition : La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1, qui représente la chance que l'événement se réalise. Par exemple, si un événement a une chance sur 3 de se réaliser, la probabilité de cet événement est égale à 1/3. Si A est un événement, on note p(A) sa probabilité.
Exemples :

La pièce Le dé L'urne
A = « Obtenir pile »
p(A) = 1/2
B = « Obtenir un nombre pair »
p(B) = 3/6 = 1/2
C = « Obtenir une boule rouge »
p(C) = 1/4


Remarques :
• La probabilité de l'événement certain est égale à 1.
• La probabilité d'un événement impossible est égale à 0.
• Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois la fréquence de réalisation de cet événement devient proche de sa probabilité, c'est la loi des grands nombres.

Équiprobabilité : Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés, on dit qu'il y a équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est égale au quotient du nombre d'issues favorables à cet événement par le nombre total d'issues de l'expérience aléatoire.
Exemples :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes, et on s'intéresse à la probabilité de tirer un AS. On note A l'événement : « Tirer un as ». Chaque carte a la même probabilité d'être choisie, nous sommes bien dans une situation d'équiprobabilité. Il y a 4 As dans le jeu donc : p(A)= 4 32 = 1 8




Événements incompatibles :
Définition : Deux événements incompatibles sont deux événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Propriété : Si A et B sont deux événements incompatibles, la probabilité que l'un ou l'autre des événements se réalise est égale à la somme des probabilités des événements A et B : p(A ou B) = p(A) + p(B).
Exemple :
Je lance un dé non truqué et je regarde le nombre de points sur la face supérieure. Considérons les événements suivants : D « le nombre obtenu est inférieur ou égal à 2 » et E «  le nombre est supérieur ou égal à 4 ». Il est impossible d'obtenir un nombre à la fois inférieur ou égal à 2 et un nombre supérieur ou égal à 4, les événements D et E sont donc incompatibles et :
p(D ou E) = p(D) + p(E) = 2/6 + 3/6 = 5/6.
La probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 ou supérieur ou égal 4 est égale à 5/6.

Événements contraires :
Définition : L'événement contraire de l'événement A est l'événement qui se réalise lorsque l'événement A ne se réalise pas. On le note A.
Propriété : p(A) = 1 - p(A)
Exemple :
Soit : D « le nombre obtenu est inférieur ou égal à 2 ». L'évènement contraire de D est D « le nombre obtenu est strictement supérieur à 2 »
p(D) = 1 - p(D) = 1 - 2/6 = 4/6 = 2/3.
La probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 2 est égale à 2/3.


Arbre des possibles :
Pour représenter les issues d'une expérience aléatoire et leur probabilité, on peut utiliser un arbre.

Exemples :
a) Expériences simples :

La pièce Le dé L'urne



b) Expérience à deux épreuves: On choisit une urne au hasard puis on tire une boule de cette urne. On s'intéresse à l'évènement « obtenir une boule bleue »

expérience à deux épreuves

Propriété : Sur un arbre, la probabilité du résultat (de l'issue) est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin pour y parvenir.
Dans l'exemple précédent:
• la probabilité de choisir l'urne 1 et de tirer une boule bleue est :
P(U1,B) = 1 2 × 3 4 = 3 8
• la probabilité de choisir l'urne 2 et de tirer une boule bleue est :
P(U2,B) = 1 2 × 1 5 = 1 10
• finalement, la probabilité de choisir tirer une boule bleue est :
P(B) = p(U1,B) + p(U2,B) = 3 8 + 1 10 = 15 40 + 4 40 = 19 40


Exercices :
Probabilité d'un évènement
Evènements incompatibles
Probabilité d'un évènement contraire
Expériences à deux épreuves


Énigmes :
Les deux urnes
Le symbole manquant

Fiche précédente :
Moyenne, médiane, étendue et quartiles
Fiche suivante :
Point, droite, demi-droite, segment