Cours de maths : Fonction dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable pour tout x appartenant à l'intervalle I. On appelle fonction dérivée de f la fonction notée f' qui à tout x associe le nombre dérivé f'(x).
Fonctions dérivées des fonctions usuelles :

Fonction f Fonction dérivée f' Intervalles de dérivabilité
f(x) = c (avec c constante) f'(x) = 0
f(x) = x f'(x) = 1
f(x) = x² f'(x) = 2x
f(x) = x³ f'(x) = 3x²
f(x) = xn (avec n un entier strictement positif) f'(x) = n xn-1
f(x) = 1x f(x) = -1x2 ]-∞;0[ ou ]0;+∞[
f(x) = 1xn (avec n un entier strictement positif) f'(x) = -nxn+1 ]-∞;0[ ou ]0;+∞[
f(x) = x f'(x) = 12x ]0;+∞[
f(x) = cos(x) f'(x) = -sin(x)
f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)
Exemples :
1) Soit f(x) = x5 , alors f'(x) = 5x4
2) Soit f(x) = x8 , alors f'(x) = 8x7

Opérations sur les dérivées :
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

1) Dérivée de u + v

La somme u + v de deux fonctions dérivables sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(u + v)' = u' + v'

Exemple :
Soit f(x) = x2+x3 , alors f'(x) = 2x+3x2

2) Dérivée de k × u

Le produit ku, où k est un nombre réel et u une fonction dérivable sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(ku)' = ku'

Exemple :
Soit f(x) = 3x2 , alors f'(x) =3×2x=6x

3) Dérivée de u × v
Le produit u × v, où u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(uv)' = u'v + uv'

Exemple :
Soit f(x) =xx. f est de la forme u × v avec u = x et v = x donc :
f'(x) =1×x+x×12x
f'(x) =x+x22x
f'(x) =x+x2
f'(x) =3x2

4) Dérivée de u²
Le fonction u², où u est une fonction dérivable sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(u²)' = 2u'u

Exemple :
Soit f(x) = (4x+3)2. f est de la forme u² avec u = 4x+3, donc :
f'(x) =2×4×(4x+3)
f'(x) =8(4x+3)
f'(x) =32x+24

5) Dérivée de uv
Le quotient uv, où u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, avec v(x) ≠ 0 pour tout x de I, est une fonction dérivable sur I et :

(uv)' = u'v - uv'

Exemple :
Soit f(x) = -2x+1x-3. f est de la forme uv avec u = -2x+1 et v = x-3. donc :
f'(x) =-2×(x-3)-(-2x+1)×1(x-3)2
f'(x) =-2x+6+2x-1(x-3)2
f'(x) =5(x-3)2

6) Dérivée de 1v
Le quotient 1v, où v est une fonction dérivable sur un intervalle I, avec v(x) ≠ 0 pour tout x de I, est une fonction dérivable sur I et :

(1v)' = - v'

Exemple :
Soit f'(x) = 13x-2. f est de la forme 1v avec v = 3x-2, donc f'(x) =-3(3x-2)2

Tableau récapitulatif :
Opération Fonction f Fonction dérivée f'
Somme u + v u' + v'
Produit par un réel k ku ku'
Produit u × v u'v + v'u
Carré u × u = u² 2u'u
Quotient (avec v ne s'annulant pas sur I) uv u'v - uv'
Inverse (avec u ne s'annulant pas sur I) 1u - 1


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Nombre dérivé
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Applications de la dérivation