Cours : Fonctions Sinus et Cosinus

Soit (O;

\vec{i}

,

\vec{j}

) un repère orthonormé et cercle C

le cercle trigonométrique de centre O.
Soit x un nombre réel et M l'image de x sur le cercle cercle C

Le cosinus de x, noté cos(x) est l'abscisse de M.
Le sinus de x, noté sin(x) est l'ordonnée de M.

Définitions :
• La fonction x↦sin x définie sur ℝ est appelée fonction sinus et notée sin.
• La fonction x↦cos x définie sur ℝ est appelée fonction cosinus et notée cos.

Dérivabilité

Propriété :
Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur ℝ et pour tout réel x :

• sin'(x) = cos(x)
• cos'(x) = -sin(x)

Exemples :
1) Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x + cos(x) , f est dérivable sur ℝ et f'(x) = 1 - sin(x)
2) Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = 2sin(x) - cos(x) , g est dérivable sur ℝ et g'(x) = 2cos(x) + sin(x)

Propriété :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ.
• La fonction cos(u) est dérivable sur I et cos'(u) = -u'×sin(u)
• La fonction sin(u) est dérivable sur I et sin'(u) = u'×cos(u)

• sin'(u) = u' × cos(u)
• cos'(u) = -u' × sin(u)

Exemples :
1) Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = cos(3x+4) , f est dérivable sur ℝ et f'(x) = -3sin(3x+4)
2) Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = sin(x²) , g est dérivable sur ℝ et g'(x) = 2xcos(x²)

Variations des fonctions sinus et cosinus

Propriétés :
Parité - Quel que soit le réel x :
• sin(-x) = -sin(x) donc la fonction sinus est impaire.
• cos(-x) = cos(x) donc la fonction cosinus est paire.

Périodicité - Quel que soit le réel x :
sin(x+2π) = sin(x) et cos(x+2π) = cos(x) donc les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π (ou 2π-périodiques).

Tableaux de variations :

tableau de variations de sinus sur [-π;π]

Tableau de variations de la fonction sinus sur [-π;π]

tableau de variations de cosinus sur [-π;π]

Tableau de variations de la fonction cosinus sur [-π;π]

Représentations graphiques :
Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont appelées des sinusoïdes.

Représentation graphique de la fonction sinus sur [-2π;2π]

Représentation graphique de la fonction cosinus sur [-2π;2π]

Equations et inéquations sur [-π;π] :

cos(x) = a

Soit a un nombre réel.
On note S l'ensemble solution de l'équation cos(x) = a sur [-π;π].

• Si a<-1, alors S = ∅
• Si a=-1, alors S = {-π;π}
• Si -1 < a < 1, alors S = {-x₀;x₀} avec x₀ tel que cos(x₀) = a et x₀∈]0;π[
• Si a=1, alors S = {0}
• Si a>1, alors S = ∅

Exemples :

1) Résoudre l'équation cos(x) =

\frac{\sqrt{2}}{2}

sur [-π;π]
L'équation admet 2 solutions :

\frac{π}{4}

et

\frac{-π}{4}

2) Résoudre l'équation cos(x) = 0,2 sur [-π;π]
L'équation admet 2 solutions : x₀ et x₁ avec x₀≈ 1,37 (on trouve cette valeur avec la touche cos^-1 de la calculatrice) et x₁=-x₀ ≈ -1,37.

3) Résoudre l'équation cos(x) = 2 sur [-π;π]
L'équation n'admet pas de solution.

cos(x) ≤ a

Soit a un nombre réel.
On note S l'ensemble solution de l'inéquation cos(x) ≤ a sur [-π;π].

• Si a < -1, alors S = ∅
• Si a=-1, alors S = {-π;π}
• Si -1 < a < 1, alors S = [-π;-x₀]∪[x₀;π] avec x₀ tel que cos(x₀) = a et x₀∈]0;π[
• Si a≥1, alors S = [-π;π]

Exemple :

Soit S l'ensemble solution de l'inéquation cos(x) ≤

\frac{1}{2}

sur [-π;π].
cos(

\frac{π}{3}

) =

\frac{1}{2}

donc S=[-π;

\frac{-π}{3}

]∪[

\frac{π}{3}

;π]

sin(x) = a

Soit a un nombre réel.
On note S l'ensemble solution de l'équation sin(x) = a sur [-π;π].

• Si a < -1, alors S = ∅
• Si a=-1, alors S = {

\frac{-π}{2}

}
• Si -1 < a < 0, alors S = {-π-x₀;x₀} avec x₀ tel que sin(x₀) = a et x₀∈]-π;0[
• Si a=0, alors S = {-π;0;π}
• Si 0 < a < 1, alors S = {π-x₀;x₀} avec x₀ tel que sin(x₀) = a et x₀∈]0;π[
• Si a=1, alors S = {

\frac{π}{2}

}
• Si a>1, alors S = ∅

Exemples :

1) Résoudre l'équation sin(x) =

\frac{-1}{2}

sur [-π;π]
L'équation admet 2 solutions :

\frac{-5π}{6}

et

\frac{-π}{6}

2) Résoudre l'équation sin(x) = 0,8 sur [-π;π]
L'équation admet 2 solutions : x₀ et x₁ avec x₀≈ 0,93 (on trouve cette valeur avec la touche sin^-1 de la calculatrice) et x₁=π-x₀ ≈ 2,21.

3) Résoudre l'équation sin(x) = -2 sur [-π;π]
L'équation n'admet pas de solution.

sin(x) ≤ a

Soit a un nombre réel.
On note S l'ensemble solution de l'équation sin(x) ≤ a sur [-π;π].

• Si a < -1, alors S = ∅
• Si a=-1, alors S = {

\frac{-π}{2}

}
• Si -1 < a < 0, alors S = [-π-x₀;x₀] avec x₀ tel que sin(x₀) = a et x₀∈]-π;0[
• Si a=0, alors S = [-π;0]∪{π}
• Si 0 < a < 1, alors S = [-π;x₀]∪[π-x₀;π] avec x₀ tel que sin(x₀) = a et x₀∈]0;π[
• Si a≥1, alors S = [-π;π]

Exemples :

Soit S l'ensemble solution de l'inéquation sin(x) ≤

\frac{1}{2}

sur [-π;π]
sin(

\frac{π}{6}

) =

\frac{1}{2}

, donc S = [-π;

\frac{π}{6}

]∪[

\frac{5π}{6}

;π]

Exercices :
Courbe représentative d'une fonction trigonométrique
Dérivée des fonctions sinus et cosinus
Dériver une fonction de type sin(u) ou cos(u)
Résoudre une équation avec sinus et cosinus
Résoudre une inéquation avec sinus et cosinus