Cours de maths : Applications de la dérivation

Sens de variations :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
• Si f'(x) ≥ 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I.
• Si f'(x) ≤ 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.

Exemples :
1) Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) =5 x3.
f'(x) = 5×3x2= 15x2
f' est positive sur ℝ donc f est croissante sur ℝ.


2) Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) =-2 x2+4x-7.
f'(x) = -2×2x+4= -4x+4
f'(x) est positif sur ]-∞ ; 1[ et négatif sur ]1 ; +∞[ donc f est croissante sur ]-∞ ; 1[ et décroissante sur ]1 ; +∞[.

Extremum local :

Définition :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et c un nombre de I.
Dire que f(c) est un maximum local de f signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout x de J, f(x) ≤ f(c)
Dire que f(c) est un minimum local de f signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout x de J, f(x) ≥ f(c)
Dire que f(c) est un extremum local de f signifie que f(c) est un maximum local ou un minimum local.

Exemple :
La courbe Cf ci-dessous représente une fonction f définie sur [-5;5].

Pour tout x de l'intervalle J1, f(x) ≤ f(2) donc f(2)=3 est un maximum local de f.

Pour tout x de l'intervalle J2, f(x) ≥ f(-2) donc f(-2)=-2 est un minimum local de f.


Propriété :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et c un nombre de I.
Si f admet un extremum local en c, alors f'(c)=0.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) =x2+4x-1.
f'(x) = 2x+4
f'(x) est négatif sur ]-∞ ; -2[ et positif sur ]-2 ; +∞[.

f(-2) = -5 est un extremum local de f donc f'(-2)=0.

/!\ la réciproque est fausse.
Exemple : Soit f définie par f(x) = x³. f'(x) = 3x² donc f'(0)=0 or f n'admet pas d'extremum local en 0.


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