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Cours de maths : Théorème de Thalès


Théorème de Thalès : Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
AM AB = AN AC = MN BC



Configurations de Thalès :
Les 3 figures suivantes sont représentent des situations de Thalès où les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Configurations de thalès
On sait que :

• les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A.
• Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
flèche verte On en déduit que :

AM AB = AN AC = MN BC



Application 1 : Calculer la longueur d'un segment.
Énoncé :
Calculer la longueur du segment [IP] sachant que KI = 2,2 cm, JI = 3 cm, IQ = 4,5 cm et que les droites (JK) et (PQ) sont parallèles.
exercice théorème de Thalès
Solution :


Les droites (KP) et (JQ) sont sécantes en I et les droites (JK) et (PQ) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a:

IK IP = IJ IQ = KJ QP
donc 2,2 IP = 3 4,5
donc IP = 2,2 × 4,5 3 = 3,3
donc IP = 3,3 cm.



Application 2 : Montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
Énoncé :
Montrer que les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
montrer que deux droites ne sont pas parallèles Thalès
Solution :


Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A.
D'une part : AC AN = 3 5 = 0,6
D'autre part : AB AM = 4 7 0,57
donc AC AN AB AM
donc les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles, sinon les rapports précédents seraient égaux d'après le théorème de Thalès.

Réciproque du théorème de Thalès : Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A.
Si :
AM AB = AN AC
• les points A, M, B et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Alors :
les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exemple :
Récproque de thalès
On sait que :

• les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A.
AM AB = AN AC
• Les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans cet ordre.
flèche verte On en déduit que :

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles

Application :
Montrer que les droites (SV) et (TU) sont parallèles.



Exercice réciproque de thalès
• Les droites (TS) et (UV) sont sécantes en R.
• D'une part RT RS = 7 5 =1,4 ,
d'autre part RU RV = 3,5 2,5 =1,4 ,
donc RU RV = RT RS
• De plus, les points R, S, T et R, V, U sont alignés dans cet ordre.
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (SV) et (TU) sont parallèles.


Exercices :
Rédiger le théorème de Thalès
Appliquer le théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès

Fiche précédente :
Trigonométrie
Fiche suivante :
Angles inscrits - Polygones réguliers