Définition :
Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 de la forme : $f\left(x\right)=ax\mathrm{²}+bx+c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont trois réels avec $a$ ≠ 0.

Une racine du polynôme f est une solution de l'équation $f\left(x\right)=0$.

Pour déterminer les racines, on peut caluler le discriminant Δ ( Voir Equations du second degré). Cette solution fonctionne dans tous les cas, mais n'est pas toujours la plus simple.
Dans certains cas, il est en effet possible de vérifier facilement qu'un nombre simple (1, -1, 2 ou -2 par exemple) est solution de l'équation $f\left(x\right)=0$. On dit alors qu'il s'agit d'une racine évidente

Exemples :

• Soit $f$ la fonction définie par $f\left(x\right)=x\mathrm{²}+5x+4$, on remarque que $f\left(-1\right)=\left(-1\right)²+5\times \left(-1\right)+4=1-5+4=0$
Donc -1 est une racine de $f$


• Soit $g$ la fonction définie par $g\left(x\right)=2x\mathrm{²}-7x+6$, on remarque que $g\left(2\right)=2\times 2²-7\times 2+6=8-14+6=0$
Donc 2 est une racine de $g$

Propriété :
Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 de la forme :
$f\left(x\right)=ax\mathrm{²}+bx+c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont trois réels avec $a$ ≠ 0.
Si $x_1$ et $x_2$ sont deux racines de f, alors $x_1\times x_2=\frac{c}{a}$

Cette propriété nous permet de trouver la deuxième racine racine lorsqu'on connait une racine évidente.

Exemples :

• Soit $f$ la fonction définie par $f\left(x\right)=x\mathrm{²}+5x+4$, on a vu que -1 était une racine évidente de $f$.
$\frac{c}{a}=4$. Notons $x_2$ la deuxième racine de $f$, on a : $-1\times x_2=4$ d'où $x_2=-4$
Donc $f\left(x\right)=(x+1)(x+4)$

• Soit $g$ la fonction définie par $g\left(x\right)=2x\mathrm{²}-7x+6$, on a vu que 2 était une racine évidente de $f$.
$\frac{c}{a}=3$. Notons $x_2$ la deuxième racine de $g$, on a : $2\times x_2=3$ d'où $x_2=\frac{3}{2}$
Donc $g\left(x\right)=2(x-\frac{3}{2})(x-2)=(2x-3)(x-2)$

Exercices :
Racines évidentes