Cours : Parallélogrammes particuliers

Le rectangle :
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
Exemple :

ABCD est un rectangle :

\hat{ABC}

\hat{BCD}

\hat{CDA}

\hat{DAB}

=90°.

Un rectangle est un parallélogramme particulier

Propriétés du rectangle :
Si un quadrilatère est un rectangle, alors :
• ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur
• ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur
• les médiatrices de ses côtés sont des axes de symétrie
• le point d'intersection de ses diagonales est un centre de symétrie

Exemple :

EFGH est un rectangle :
• les diagonales [EG] et [FH] se coupent en leur milieu O
• les diagonales sont de même longueur donc EG = FH
• les côtés opposés sont de même longueur donc EF = GH et FG = HE
• les côtés opposés sont parallèles donc (EF) // (GH) et (FG) // (HE)
• les droites (d₁) et (d₂) sont des axes de symétrie du rectangle EFGH
• O est le centre de symétrie du rectangle EFGH.

Reconnaître un rectangle :
• Si un quadrilatère a trois angles droits , alors c'est un rectangle
• Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu , alors c'est un rectangle
• Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle
• Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.

Le losange :
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Exemple :

IJKL est un losange :
losange

IJ = JK = KL = LI

Un losange est un parallélogramme particulier

Propriétés du losange :
Si un quadrilatère est un losange, alors :
• ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires
• ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur
• ses angles opposés sont de même mesure
• ses diagonales sont des axes de symétrie
• le point d'intersection de ses diagonales est un centre de symétrie
Exemple :

PQRS est un losange :
• les diagonales [PR] et [QS] se coupent en leur milieu T et sont perpendiculaires
• les côtés opposés sont parallèles donc (PQ) // (RS) et (QR) // (PS)
• les angles opposés sont de même mesure donc

\hat{PQR}

\hat{RSP}

\hat{QRS}

\hat{SPQ}

• T est le centre de symétrie du losange PQRS.

Reconnaître un losange :
• Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur , alors c'est un losange
• Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu , alors c'est un losange
• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange
• Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.

Le carré :
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits .
Exemple :

ABCD est un carré :
carré

AB = BC = CD = DA
et

\hat{ABC}

\hat{BCD}

\hat{CDA}

\hat{DAB}

=90°.

Un carré est un parallélogramme particulier
Un carré est à la fois un losange et un rectangle.

Propriétés du carré :
Si un quadrilatère est un carré, alors :
• ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même longueur
• ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur
• ses diagonales et les médiatrices de ses côtés sont des axes de symétrie
• le point d'intersection de ses diagonales est un centre de symétrie
Exemple :

ABCD est un carré :
• les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O, sont de même longueur et sont perpendiculaires
• les côtés opposés sont parallèles donc (AB) // (CD) et (BC) // (AD)
• ABCD a 4 axes de symétrie : (IK), (JL), (AC) et (BD)
• O est le centre de symétrie du carré ABCD.

Reconnaître un carré :
• Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu , alors c'est un carré
• Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c'est un carré
• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur, alors c'est un carré
• Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré
• Si un losange a des diagonales de même longueur, alors c'est un carré
• Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré
• Si un rectangle a des diagonales perpendiculaires, alors c'est un carré.