Définition : L'ensemble des nombres complexes ℂ :
Il existe un ensemble noté ℂ et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes :
• ℝ ⊂ ℂ
• L'ensemble ℂ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de ℝ et les règles de calcul restent les mêmes;
• Il existe un nombre complexe, noté i vérifiant i² = -1 ;
• Tout nombre complexe s'écrit de façon unique sous la forme x + iy avec x et y réels.

Exemples : 2 + 3i ; -i + 5 ; 3i ; 12 ; 1 + i sont des nombres complexes.

Définition :
L'écriture x + iy (avec x et y réels) d'un nombre complexe z s'appelle la forme algébrique d'un complexe.
Vocabulaire : Le réel x est la partie réelle du nombre complexe z et se note Re(z).
Le réel y est la partie imaginaire du nombre complexe z et se note Im(z).

Exemples : Re(2 + 3i) = 2 ; Im(-i + 5)=-1 ; Re(3i)=0 ; Im(12)=0 ; Im(1 - i)=-1.

Définition :
Un nombre complexe de forme algébrique iy (avec y réel) est appelé un imaginaire pur.

Exemples : 3i ; -i ; -4i sont des imaginaires purs.

Propriété :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Opérations sur les complexes :
Soient z et z' deux nombres complexes tels que z = x + iy et z' = x' + iy'
• L'opposé d'un nombre complexe z est le complexe noté –z défini par :

• Somme de nombres complexes :

• Produit de nombres complexes :

Inverse d'un nombre complexe :

Soient $z$ et $z\text{'}$ deux nombres complexes tels que $z=x+iy$ et $z\text{'}=x\text{'}+iy\text{'}$
Tout nombre complexe non nul $z$ de forme algébrique $x+iy$ admet un inverse noté $\frac{1}{z}$ de forme algébrique :

$\frac{1}{z}$ = $\frac{x}{x\mathrm{²}+y\mathrm{²}}+i\frac{-y}{x\mathrm{²}+y\mathrm{²}}$

Conjugué d'un nombre complexe :

On appelle conjugué du nombre complexe $z=x+iy$ le nombre complexe $\overline{z}$ de forme algébrique $x–iy$.
Exemple : le nombre conjugué de 5 + 3i est 5 - 3i.

Opérations sur les conjugués :

Soient $z$ et $z\text{'}$ deux nombres complexes tels que $z=x+iy$ , $z\text{'}=x\text{'}+iy\text{'}$ et $n$ un entier naturel non nul. On a :

De plus, si $z\text{'}$≠0 alors :


Exemple : $\overline{\left(\frac{3+5i}{7-2i}\right)}=\frac{3-5i}{7+2i}$

Binôme de Newton :

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes et $n$ un nombre entier naturel, on a :


Exemple :
${(2-i)}^4=\sum _{k=0}^4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)2^{4-k}{(-i)}^k$
${(2-i)}^4=2^4-4\times 2^{3}i+6\times 2^2{i}^2-4\times 2i^3+i^4$
${(2-i)}^4=16-32i-24+8i+1$
${(2-i)}^4=-7-24i$