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Cours de maths : Théorème de Pythagore


Rappel : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est le plus grand côté.

Exemple :
hypoténuse Le triangle ABC est rectangle en B.
L'hypoténuse du triangle ABC est le côté [AC].

Exercice :
Reconnaître l'hypoténuse d'un triangle rectangle



Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Interprétation géométrique :
interprétation géométrique du théorème de Pythagore Le triangle EFG est rectangle en F.

L'aire du carré de côté [EG] (en rouge) est égale à la somme des aires du carré de côté [EF] (en bleu) et du carré de côté [FG] (en jaune).

EG² = EF² + FG²


Démonstration :
On considère un triangle rectangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c (c est la longueur de l'hypoténuse). En utilisant les figures 1 et 2 ci-dessous, nous allons montrer que c² = a² + b².
démonstration du théorème de Pythagore
Les deux figures représentent deux carrés de côtés a + b.
Par découpage, on constate que les aires des surfaces vertes des figures 1 et 2 sont égales. Autrement dit : c² = a² + b²



Puzzles :
Il existe de nombreuses autres démonstrations du théorème de Pythagore. Les puzzles de Pythagore consistent à reconstituer le carré de l'hypoténuse à partir des carrés des deux autres côtés. Je vous propose ci-dessous deux puzzles à résoudre.

Premier puzzle :

Deuxième puzzle :

Exercice :
Egalité de Pythagore dans un triangle rectangle

Calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle :
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que AC = 2,8 cm et AB = 4,5 cm. Calculer la longueur du segment [BC].
Calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle Le triangle ABC est rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore, on a :

BC² = AC² + AB²
BC² = 2,8² + 4,5²
BC² = 7,84 + 20,25
BC² = 28,09
Le nombre positif dont le carré est égal à 28,09 est noté 28,09 , donc :
BC = 28,09
En utilisant la touche de la calculatrice, on obtient :
BC = 5,3 cm

Exercice :
Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle



Calculer la longueur d'un côté adjacent à l'angle droit d'un triangle rectangle :
Exemple : EFG est un triangle rectangle en E tel que EG = 4,8 cm et FG = 7,3 cm. Calculer la longueur du segment [EF].
Calculer la longueur du côté adjacent à langle droit d'un triangle rectangle Le triangle EFG est rectangle en E.
D'après le théorème de Pythagore, on a :

FG² = EF² + EG²
7,3² = EF² + 4,8²
EF² = 7,3² - 4,8²
EF² = 53,29 - 23,04
EF² = 30,05
Le nombre positif dont le carré est égal à 30,05 est noté 30,05 , donc :
EF = 30,05
En utilisant la touche de la calculatrice, on obtient :
EF = 5,5 cm

Exercices :
Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté adjacent à l'angle droit d'un triangle rectangle
Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant celle des deux autres

Réciproque du théorème de Pythagore : Si le carré de la longueur du plus long côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Exemple :
IJK est un triangle tel que IJ = 6,5 cm et JK = 7,2 cm et IK = 9,7 cm. Montrer que IJK est un triangle rectangle en J.
Réciproque de Pythagore Dans le triangle IJK, le plus long côté est [IK].

D'une part : IK² = 9,7² = 94,09
D'autre part : IJ² + JK² = 6,5² + 7,2² = 42,25 + 51,84 = 94,09

Donc IK² = IJ² + JK²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en J.

Exercices :
Reconnaître un triangle rectangle en utilisant l'égalité de Pythagore

Jeu :
Mathman 3

Autres ressources :
http://www.cmath.fr/4eme/theoremedepythagore/cours.php : cours
https://www.youtube.com/watch?v=FcQQ1nX5cFg : vidéo - qui était Pythagore ?
https://www.youtube.com/watch?v=2nHhiDWXN4s : vidéo - énoncé du théorème

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Prismes droits et cylindres de révolution
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Théorèmes des milieux