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Cours de maths : Triangles semblables


Définition : Deux triangles sont dits semblables ou de même forme, s'ils ont les angles deux à deux de même mesure.
Exemple :
ABC^ = DEF^
BAC^ = EDF^
BCA^ = EFD^

ABC et DEF sont deux triangles semblables.

Vocabulaire : Lorsque deux triangles sont semblables :
• Les angles égaux sont dits homologues
• Les côtés opposés à des angles égaux sont dits homologues
• Les sommets des angles égaux sont dits homologues

Angles homologues Sommets homologues Côtés homologues
ABC^ et DEF^ B et E [AC] et [DF]
BAC^ et EDF^ A et D [BC] et [EF]
BCA^ et EFD^ C et F [AB] et [DE]

Remarque : Pour montrer que deux triangles sont semblables il suffit de montrer que deux angles d'un triangle soient égaux à deux angles d'un autre triangle. En effet, puisque la somme des angles d'un triangle est égale à 180°, si deux angles sont deux à deux de même mesure, il en est de même pour le troisième angle de chaque triangle.

Exemple :
BAC^ = EDF^ = 22°
DEF^ = ABC^ = 114°

ABC et DEF ont deux angles égaux deux à deux donc ils sont semblables.

Remarque : on verifie facilement par le calcul que les deux derniers angles ont bien la même mesure :
ACB^ = 180 - 114 - 22 = 44° et DFE^ = 180 - 114 -22 = 44°



Propriété des longueurs :
Si les longueurs des côtés d'un triangle sont proportionnelles aux longueurs d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.

Exemple :
RS KM = 6 4 = 1,5
RT LM = 7,5 5 = 1,5
ST KL = 3 2 = 1,5

En divisant la longueur de chaque côté du triangle RST par la longueur de son côté homologue dans le triangle KLM, on obtient toujours le même résultat : 1,5. Les longueurs des côtés des deux triangles sont donc proportionnelles et les triangles RST et KLM sont semblables. Le triangle RST est un agrandissement du triangle KLM.



Propriété réciproque :
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés d'un des triangles sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre triangle.

Exemple :
ABC et OMN sont deux triangles semblables. Calculer la longueur du côté [ON].

CA MN = 2 1 = 2
donc ON = 6 ÷ 2 = 3.
donc ON = 3 cm.



Propriété :
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés dont les longueurs sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.

Exemple :
DE BC = 7,5 5 = 1,5
EF AB = 9 6 = 1,5

Les longueurs AB et BC sont proportionnelles aux longueurs DE et EF, de plus ABC^ = DEF^, donc les triangles ABC et DEF sont semblables.

Exercices :
Côtés, angles et sommets homologues de deux triangles semblables
Reconnaître deux triangles semblables avec les angles
Reconnaître deux triangles semblables en connaissant les longueurs des côtés
Calculer la longueur d'un côté d'un triangle en utilisant les propriétés des triangles semblables

Fiche précédente :
Théorème des milieux
Fiche suivante :
Triangles et parallèles