Soit O un point du plan et k un nombre positif. Appliquer à une figure l'homothétie de centre O et rapport k , consiste à multiplier par k toutes les distances par rapport au point O. La forme de la figure est conservée mais on obtient une figure agrandie si k > 1 et réduite si 0 < k < 1.
Exemples d'homothéties de rapport positif :(clique sur le bouton en bas à droite pour faire défiler l'animation)
Si k est un nombre négatif, la figure obtenue par l'homothétie de centre O et rapport k est "retournée" par rapport à l'original. Exemple d'homothétie de rapport négatif :(clique sur le bouton en bas à droite pour faire défiler l'animation)
Propriétés :
Soit k >0. Effectuer une homothétie de rapport k revient à faire un agrandissement (si k > 1) ou une réduction (si 0 < k < 1) de coefficient k.
Lors d'une homothétie de rapport k :
• les mesures d'angles sont conservées.
• les longueurs initiales sont multipliées par k
• les aires sont multipliées par k²
• les volumes sont multipliées par k³
La figure rose est l'image de la figure bleue par l'homthétie de centre O et de rapport 3. • La forme de la figure bleue est conservée.
• Les mesures d'angles de la figure rose sont les mêmes que ceux de la figure bleue : 30°
• Les longueurs de la figure rose sont égales à celles de la figure bleue multipliées par 3 : B'C' = 3 × 3 = 9 cm. B'E' = 3 × 6 = 18 cm.
• L'aire de la figure rose est égale à l'aire de la figure bleue multipliée par 9 (car 3² = 3 × 3 = 9)
Construire l'image d'un point par une homothétie :
On veut construire l'image du point A par l'homothétie de centre O et de rapport 4.
1) On commence par tracer la demi-droite [OA).
2) On mesure la longueur OA avec le compas.
3) On reporte cette longueur 4 fois à partir du point O, on obtient le point A'.
