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Cours de maths : Homothétie


Soit O un point du plan et k un nombre positif. Appliquer à une figure l'homothétie de centre O et rapport k , consiste à multiplier par k toutes les distances par rapport au point O. La forme de la figure est conservée mais on obtient une figure agrandie si k > 1 et réduite si 0 < k < 1.
Exemples d'homothéties de rapport positif : (clique sur le bouton en bas à droite pour faire défiler l'animation)

Si k est un nombre négatif, la figure obtenue par l'homothétie de centre O et rapport k est "retournée" par rapport à l'original.
Exemple d'homothétie de rapport négatif : (clique sur le bouton en bas à droite pour faire défiler l'animation)



Propriétés :
Soit k >0. Effectuer une homothétie de rapport k revient à faire un agrandissement (si k > 1) ou une réduction (si 0 < k < 1) de coefficient k.
Lors d'une homothétie de rapport k :
• les mesures d'angles sont conservées.
• les longueurs initiales sont multipliées par k
• les aires sont multipliées par k²
• les volumes sont multipliées par k³
image d une figure par homothétie La figure rose est l'image de la figure bleue par l'homthétie de centre O et de rapport 3.
• La forme de la figure bleue est conservée.
• Les mesures d'angles de la figure rose sont les mêmes que ceux de la figure bleue : A'B'E'^ = ABE^ = 30°
• Les longueurs de la figure rose sont égales à celles de la figure bleue multipliées par 3 : B'C' = 3 × 3 = 9 cm. B'E' = 3 × 6 = 18 cm.
• L'aire de la figure rose est égale à l'aire de la figure bleue multipliée par 9 (car 3² = 3 × 3 = 9)

Construire l'image d'un point par une homothétie :
On veut construire l'image du point A par l'homothétie de centre O et de rapport 4.
Construction de l image d un point par une homothétie
1) On commence par tracer la demi-droite [OA).
2) On mesure la longueur OA avec le compas.
3) On reporte cette longueur 4 fois à partir du point O, on obtient le point A'.
Remarque : On a : OA' = 4 × OA.



Exercices :
Retrouver le centre et le rapport d'une homothétie
Image d'un point par une homothétie
Image d'une figure par une homothétie



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Rotation
Fiche suivante :
Triangles