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Cours de maths : Trigonométrie


Cercle trigonométrique :

Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 muni d'un sens direct (le sens inverse des aiguilles d'une montre).
cercle trigonométrique



Enroulement de la droite numérique :
On considère un repère orthonormé (O; I, J).
Soit cercle C le cercle trigonométrique de centre O et K le point de coordonnées (1;1). La droite (IK) est tangente au cercle cercle C passant par I et (I;K) est un repère de cette droite.
Si on "enroule" la droite (AK) autour du cercle cercle C comme indiqué par la flèche en pointillé, chaque point N d'abscisse x sera associé à un unique point M sur le cercle. On dit que M est l'image de x sur le cercle trigonométrique.

enroulement de la droite numérique


Mesure en radians :

Soit x un nombre réel. Si M est l'image de x sur le cercle trigonométrique, l'angle IOM^ mesure x radians.

Le périmètre du cercle trigonométrique est 2π, l'image de 2π sur le cercle est donc le point I.
On a donc 360° = 2π radians.

Par proportionnalité on obtient le tableau ci-dessous :

Angle en degré 0 30 45 60 90 180 360
Angle en radians 0 π6 π4 π3 π2 π

enroulement de la droite des réels



Une même image pour plusieurs nombres :


Plusieurs points de la droite (IK) peuvent s'appliquer sur le même point du cercle cercle C après enroulement. En effet, les nombres x, x+, x+2×, x-, x-2×, etc ... s'appliquent sur le même point.


Exemple : sur la figure ci-contre, les nombres 2π3, 8π3 et -4π3 s'appliquent sur le même point M.


plusieurs images


Cosinus et sinus d'un nombre réel :

Soit (O;I,J) un repère orthonormé et cercle C le cercle trigonométrique de centre O.
Soit x un réel et M l'image de x sur le cercle cercle C.

Le cosinus de x, noté cos(x) est l'abscisse de M.
Le sinus de x, noté sin(x) est l'ordonnée de M.

cosinus et sinus d un nombre réel

Valeurs remarquables de sinus et cosinus :

x 0 π6 π4 π3 π2 π
cos(x) 1 32 22 12 0 -1
sin(x) 0 12 22 32 1 0



Propriétés du cosinus et du sinus d'un nombre réel :

Soit x un nombre réel.

(1) -1 ≤ cos(x) ≤ 1 et -1 ≤ sin(x) ≤ 1
(2) cos²(x)+sin²(x) = 1
(3) cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = -sin(x)

Application : Quelle est la valeur de cos(-π6) ?
Réponse : D'après le tableau précédent cos(π6) = 32, or d'après la propriété (3), cos(-π6) = cos(π6), donc cos(-π6) = 32.


Exercices :
Placer l'image d'un nombre sur un cercle trigonométrique
Enroulement de la droite numérique
Signe du sinus et cosinus
Lecture du sinus et cosinus d'un nombre réel
Valeurs remarquables du sinus et du cosinus


Fiche précédente :
Inéquations produit et quotient
Fiche suivante :
Coordonnées dans un repère