Définition :

Dire qu'une suite u est géométrique signifie qu'il existe un nombre q tel que, pour tout entier naturel n, u_n+1 = q × u_n. Le nombre q est appelé la raison de la suite (u_n).


Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite géométrique au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q.

Exemples :
1) La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32,... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
2) La suite v définie pour tout n appartenant à ℕ par v_n = $\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}$ : 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, ... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\frac{1}{2}$
3) Soit w la suite définie pour tout entier naturel n par w_n = 2 × 3ⁿ.
w_n+1 = 2 × 3ⁿ⁺¹ = 2 × 3ⁿ × 3 = w_n × 3
De plus w₀ = 2, donc w est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.

Formule explicite :

Pour calculer un terme d'une suite géométrique avec la définition par récurrence, il est nécessaire de connaître le terme précédent. La propriété suivante permet de trouver une formule explicite.
Si u est une suite géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n et p :

u_n = u_p × q^n-p

Illustration


En particulier, si p = 0, pour tout entier naturel n, on a :

u_n = u₀ × qⁿ

Illustration


Exemples :
1) Soit u la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u₀=4. Calculer u₇.

D'après la deuxième formule, u₇ = u₀ × q⁷ = 4 × 3⁷ = 4 × 2187 = 8748.

2) Soit v la suite géométrique de raison q=$\frac{1}{2}$ telle que u₆=512. Calculer u₉.

D'après la première formule, u₉ = u₆ × q^9-6 = 512 × ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ = 512 × $\frac{1}{8}$ = 64.

Somme des termes d'une suite géométrique :

I) Somme des puissances successives :
Pour tout entier naturel n non nul, si q ≠ 1, on a :
Démonstration :
On écrit sur une ligne la somme des termes dans l'ordre croissant, puis sur une seconde ligne, on écrit le produit de cette somme par q et on soustrait membre à membre les deux égalités.

S

=

1

+

q

+

q2

+

...

+

qn

+

qS

=

q

+

q2

+

...

+

qn

+

qn+1

S -

qS

=

1

+

0

+

0

+

...

+

0

-

qn+1

Donc S(1-q) = 1 - qⁿ⁺¹ et comme q ≠ 1, $\text{S =}\frac{\text{1 - }{\mathrm{q}}^{\text{n + 1}}}{\text{1 - q}}$.

Exemple :
S = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁸
$\text{S =}\frac{\text{1 -}{2}^{\text{9}}}{\text{1 - 2}}$
$\text{S}=\frac{\text{1 - 512}}{\text{-1}}=511$.

II) Somme des termes d'une suite géométrique :
Soit u une suite géométrique. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est égale à :
Exemple :
Soit u la suite géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison 3.
Calculer la somme S = u₀ + u₁ + u₂ + ... + u₆.

$\text{S = 2 ×}\frac{\text{1 -}{3}^{\text{7}}}{\text{1 - 3}}$
$\text{S = 2 ×}\frac{\text{1 - 2187}}{\text{-2}}\text{= 2186}$.