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Cours de maths : Fonctions linéaires


Définition : Une fonction linéaire est une fonction qui traduit une situation de proportionnalité. Soit a un nombre réel quelconque. La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui associe à tout nombre réel x le produit a × x.

Exemples : • La fonction f:x ↦ 4x est la fonction linéaire de coefficient 4.

• La fonction f:x ↦ -7x est la fonction linéaire de coefficient -7.

• La fonction f:x ↦ 3x² n'est pas une fonction linéaire.

• La fonction f:x ↦ -4x+3 n'est pas une fonction linéaire.



Images et antécédents :
1) Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire
Exemple :
Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = -5x. Calculer l'image de 3 par la fonction f.
Réponse :pour calculer l'image d'un nombre, il suffit de remplacer x par la valeur souhaitée :
f(3) = -5 × 3 = -15, donc l'image de 3 par f est -15.

2) Calculer l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
Exemple :
Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = 6x. Calculer l'antécédent de 48 par la fonction f.
Réponse : pour déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire, il faut résoudre une équation.
Soit x l'antécédent cherché, on a f(x) = 48 autrement dit 6x = 48, soit x = 486 = 8, donc l'antécédent de 48 par f est 8.



Représentation graphique d'une fonction linéraire :
Soit a un nombre réel quelconque. Dans un repère, la fonction linéaire de coefficient a est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
a est le coefficient directeur de la droite :
• Si a est positif, la droite monte.
• Si a est négatif, la droite descend.
• Si a est égal à 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses.



Exemples :
1)
fonction linéaire avec a positif La droite rouge représente la fonction f:x ↦ 2x.
2 est positif donc la droite "monte".
Elle passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées (1;2).
2)
fonction linéaire avec a négatif La droite rouge représente la fonction f:x -12x.
-12 est négatif donc la droite "descend".
Elle passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées (1; -12).

Exercices :
Reconnaître une fonction linéaire
Calculer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
Représentation graphique d'une fonction linéaire
Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire

Fiche précédente :
Notion de fonction
Fiche suivante :
Fonctions affines