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Cours de maths : Fonctions affines


Définition : Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :
f:x ↦ ax + b, où a et b sont deux nombres réels quelconques.
Remarque : toute fonction linéaire est une fonction affine telle que b = 0.

Exemples : • La fonction f:x ↦ 2x + 3 est une fonction affine. (a = 2 et b = 3)

• La fonction f:x ↦ 7 - 4x est une fonction affine. ( a = -4 et b = 7 )

• La fonction f:x ↦ 2x - 24 est une fonction affine. ( a = 2 et b = -24 )

• La fonction f:x ↦ 4x est une fonction linéaire donc une fonction affine. ( a = 4 et b = 0 )

• La fonction f:x ↦ 3x² + 7 n'est pas une fonction affine.



Images et antécédents :
1) Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine
Exemple :
Soit f la fonction affine définie par f(x) = -3x + 13. Calculer l'image de -5 par la fonction f.
Réponse : pour calculer l'image d'un nombre, il suffit de remplacer x par la valeur souhaitée :
f(-5) = -3 × (-5) + 13 = 15 + 13 = 28, donc l'image de -5 par f est 28.

2) Calculer l'antécédent d'un nombre par une fonction affine
Exemple :
Soit f la fonction affine définie par f(x) = 7x - 6. Calculer l'antécédent de 22 par la fonction f.
Réponse : pour déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction affine, il faut résoudre une équation.
Soit x l'antécédent cherché, on a f(x) = 22 autrement dit 7x - 6 = 22, soit 7x = 28 et donc x=287 = 4, donc l'antécédent de 22 par f est 4.



Représentation graphique d'une fonction affine : Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine f:xax + b est une droite d'équation y = ax + b.

1) Coefficient directeur :
a est le coefficient directeur de la droite :
• Si a est positif, la droite monte.
• Si a est négatif, la droite descend.
• Si a est égal à 0, la droite est parallèle à l'axe des abscisses.

2) Ordonnée à l'origine
b est l'ordonnée à l'origine de la droite. C'est à dire que la droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;b).



Exemples :
1)
fonction affine avec a positif La droite (d1) représente une fonction affine f telle que :
f(x) = ax + b.
Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée -2 donc b = -2.
La droite "monte" donc a est positif. On remarque que lorsque l'on se déplace d'une unité en abscisse, on monte de 3 unités en ordonnée (voir pointillés) donc a = 3.
Donc f:x ↦ 3x - 2.
2)
fonction affine avec a négatif La droite (d2) représente une fonction affine g telle que :
g(x) = ax + b.
Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1 donc b = 1.
La droite "descend" donc a est négatif. On remarque que lorsque l'on se déplace de 3 unités en abscisse, on descend d'une unité en ordonnée (voir pointillés) donc a = -13.
Donc g:x -13x + 1.
3)
fonction affine avec a nul La droite (d3) représente une fonction affine h telle que :
h(x) = ax + b.
Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 4 donc b = 4.
Elle est parallèle à l'axe des abscisses donc a = 0.
Donc h:x ↦ 4.

Exercices :
Reconnaître une fonction affine
Calculer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction affine
Représentation graphique d'une fonction affine
Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine

Fiche précédente :
Fonctions linéaires
Fiche suivante :
PGCD