Cours de maths : Convexité

Approche graphique de la convexité

Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère.
f est convexe sur I si pour tous réels a et b appartenant à I, C est en-dessous de la sécante (AB) ( avec A(a;f(a)) et B(b;f(b)) ) sur l'intervalle [a;b].
f est concave sur I si pour tous réels a et b appartenant à I, C est au-dessus de la sécante (AB) ( avec A(a;f(a)) et B(b;f(b)) ) sur l'intervalle [a;b].

Exemples :
fonction convexe
Représentation graphique d'une fonction convexe
fonction concave
Représentation graphique d'une fonction concave
fonction convexe puis concave
Représentation graphique d'une fonction convexe (en bleu) puis concave (en rouge)


Définition :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I , C sa courbe représentative et A(a; f(a)) un point de C.
A est un point d’inflexion de C si la tangente à C en A traverse C en A.

Propriété :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative et A(a; f(a)) un point de C.
A est un point d’inflexion de C si la fonction f change de convexité en A.

Exemples :
point d'inflexion tangente oblique
Cf est la courbe représentative d'une fonction f.
Le point A(1;2) est un point d'inflexion de la courbe Cf
f est convexe sur [-5;1] puis concave sur [1;5]
La tangente à Cf au point A traverse la courbe Cf
point d'inflexion tangente horizontale
Cg est la courbe représentative d'une fonction g.
Le point B(2;1) est un point d'inflexion de la courbe Cg
g est concave sur [-5;2] puis convexe sur [2;5]
La tangente à Cg au point B traverse la courbe Cg




Convexité des fonctions dérivables

Propriété :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

f est convexe sur I si et seulement si f'' est positive sur I
f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I

De même :
f est concave sur I si et seulement si f'' est négative sur I
f est convexe sur I si et seulement si f' est décroissante sur I

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = -7 + 3x - 2
f est deux fois dérivable sur ℝ et f''(x)= -14
f'' < 0 sur ℝ donc f est concave sur ℝ

Propriété :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère.

f est convexe sur I si et seulement si C est au-dessus de toutes ses tangentes.
f est concave sur I si et seulement si C est en dessous de toutes ses tangentes.

Exemples :
tangentes d'une fonction convexe
Représentation graphique d'une fonction convexe
tangentes d'une fonction concave
Représentation graphique d'une fonction concave


Propriété :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans un repère et a un réel appartenant à I.

• Si f' change de variations en a, alors C admet un point d'inflexion au point d'abscisse a.
• Si f'' s'annule en changeant de signe en a, alors C admet un point d'inflexion au point d'abscisse a.

Exemple :

Soit f, la fonction définie sur ℝ par f(x)=x33+5x2+x+1
f'(x)=x2+10x+1
f''(x)=2x+10
f''(x)=0x=-5
f''(x)<0 pour tout x∈ ]-∞; -5[ et f''(x)>0 pour tout x∈ ]-5; +∞[ donc la courbe représentative de f admet un point d'inflexion au point d'abscisse -5.

Remarque : la courbe représentative d'une fonction peut admettre un point d'inflexion en a lorsque f''(a) n'existe pas.

Exemple :

Soit f, la fonction définie sur ℝ par f(x)=x53
f'(x)=53x23
f''(x)=109x-13=109x13
f''(0) n'existe pas.
f''(x)<0 pour tout x<0 et f''(x)>0 pour tout x>0 donc la courbe représentative de f admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.


Exercices :
Déterminer graphiquement la convexité d'une fonction
Reconnaître un point d'inflexion
Etude de la convexité d'une fonction
Convexité et sens de variations de la dérivée
Etablir le tableau de variations de la dérivée d'une fonction


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Compléments sur la dérivation
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Continuité