Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
• La fonction f est continue en a si $\underset{x\text{→a}}{lim<!--limite-->}f\text{(}x\text{)}=f\text{(}a\text{)}$.
• La fonction $f$ est continue sur I si $f$ est continue pour tout réel $x$ de I

Exemples :

Propriétés :
• Les fonctions affines, les fonctions polynômes, la fonction racine carrée et la fonction exponentielle sont continues sur leur ensemble de définition.
• Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
• Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ]-∞;4[ ∪ ]4;+∞[ par $f\text{(}x\text{)}=\frac{4x²+7x-5}{4+x}$ est continue sur ]-∞;4[ et est continue sur ]4;+∞[.

Remarque :
Une fonction continue sur un intervalle n'est pas toujours dérivable sur cet intervalle. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0.

Propriété :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, (U_n) une suite à valeurs dans I et a un réel appartenant à I.
Si (U_n) converge vers a, alors (f(U_n)) converge vers f(a)

Exemple :
Soit (U_n) la suite définie par U₀=9 et U_n+1=$\sqrt{U_n}$ pour tout entier n≥0. (U_n) est décroissante et minorée par 1 donc (U_n) est convergente. (voir démonstration).
Soit l la limite de (U_n). La fonction racine carrée est continue sur [0;+∞[, donc $\left(\sqrt{U_n}\right)$ converge vers $\sqrt{l}$. Or, (U_n+1) = $\left(\sqrt{U_n}\right)$ et par unicité de la limite, l est solution de l'équation $x=\sqrt{x}$.
$x=\sqrt{x}$ ⇔ $x$ = $x²$ et $x$≥0
$x=\sqrt{x}$ ⇔ $x$ = 0 ou $x$ = 1
Or (U_n) est minorée par 1, donc l=1.

Théorème (cas général) :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] où a et b sont deux réels tels que a<b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k.



Illustration :


Exemple :
Soit $f$ la fonction définie sur [0;+∞[ par $f\text{(}x\text{)}$ = $x²-3\sqrt{x}$. Montrer que l'équation $f\text{(}x\text{)}$ = 5 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;4]
Solution :La fonction $f$ est continue sur [0;4] comme somme de fonctions continues.
$f\text{(}0\text{)}$ = $\mathrm{0²}-3\sqrt{0}$ = 0 et $f\text{(}4\text{)}$ = $\mathrm{4²}-3\sqrt{4}$ = 16-6 = 10 , donc 5 ∈ [$f$(0);$f$(4)].
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f\text{(}x\text{)}$ = 5 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;4].

Théorème (cas d'une fonction strictement monotone) :
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] où a et b sont deux réels tels que a<b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k.

Illustrations :



Exemple :
Soit $f$ la fonction définie sur [0;+∞[ par $f\text{(}x\text{)}$ = ${\mathrm{e}}^x+4x-1$. Montrer que l'équation $f\text{(}x\text{)}$ = 3 admet une unique solution dans l'intervalle [0;1]
Solution :La fonction $f$ est continue et dérivable sur [0;1] comme somme de fonctions continues et dérivables.
$f\text{'(}x\text{)}$ =${\mathrm{e}}^x+4$.
$f\text{'(}x\text{)}$ > 0 pour tout $x$ ∈ [0;1] donc $f$ est strictement croissante sur [0;1]
$f\text{(}0\text{)}$ = ${\mathrm{e}}^0+4\times 0-1$ = 1 - 1 = 0
$f\text{(}1\text{)}$ = ${\mathrm{e}}^1+4\times 1-1$ = e + 3 , donc 3 ∈ [$f$(0);$f$(1)].
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f\text{(}x\text{)}$ = 3 admet une unique solution dans l'intervalle [0;1].

Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique aussi sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert. Si une borne de l'intervalle est ouverte, alors on considère la limite de f en cette borne.

Exemple :
Soit $f$ la fonction définie sur ℝ par $f\text{(}x\text{)}$ = ${\mathrm{e}}^{-x}-2x$. Montrer que l'équation $f\text{(}x\text{)}$ = 0 admet une unique solution sur ℝ
Solution :La fonction $f$ est continue et dérivable sur ℝ comme somme de fonctions continues et dérivables.
$f\text{'(}x\text{)}$ =$-{\mathrm{e}}^{-x}-2$.
$f\text{'(}x\text{)}$ < 0 pour tout $x$ ∈ ℝ donc $f$ est strictement décroissante sur ℝ
$\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}f\text{(}x\text{)}=\mathrm{+\infty }$
$\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}f\text{(}x\text{)}=\mathrm{-\infty }$ , donc $\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}f\text{(}x\text{)}$ < 0 < $\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}f\text{(}x\text{)}$
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f\text{(}x\text{)}$ = 0 admet une unique solution sur ℝ.