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Cours de maths : PGCD de deux nombres entiers


Diviseur : Soient a et b deux nombres entiers, avec b ≠ 0.
On dit que b est un diviseur de a lorsque le quotient a b est un nombre entier.
On peut dire alors :
b est un diviseur de a
b divise a
a est un multiple de b
a est divisible par b



Exemples :

a) 28 7 = 4 or 4 est un nombre entier, donc 7 est un diviseur de 28.

b) 48 8 = 6 or 6 est un nombre entier, donc 8 est un diviseur de 48.


Diviseur commun à deux nombres entiers : Soient k, a et b trois nombres entiers avec k ≠ 0.
k est un diviseur commun de a et de b s'il est à la fois diviseur de a et de b.
Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres entiers.

Exemple :

Quels sont les diviseurs communs à 24 et 36 ?
Réponse :
Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24.
Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 et 18.
Les diviseurs communs à 24 et 36 sont donc 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
Astuce : pour rechercher les diviseurs d'un nombre, il est recommandé de procéder par paires.
Pour les diviseurs de 24 on obtient : 1 et 24 (car 1×24=24), 2 et 12 (car 2×12=24), 3 et 8 (car 3×8=24), 4 et 6 (car 4×6=24). Cette méthode permet d'éviter l'oubli de certains diviseurs.




PGCD : le Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres entiers a et b est appelé le PGCD de a et de b et est noté PGCD(a; b)

Exemples :

a) Déterminer le PGCD de 15 et de 27.
Réponse :
Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27.
Les diviseurs communs à 15 et 27 sont donc 1 et 3.
Le plus grand des diviseurs communs à 15 et 27 est 3 donc PGCD(15 ; 27) = 3.

b) Déterminer le PGCD de 12 et de 30.
Réponse :
Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.
Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc 1 ; 2 ; 3 et 6.
Le plus grand des diviseurs commun à 12 et 30 est 6 donc PGCD(12 ; 30) = 6.

Remarque : il existe d'autres méthodes de détermination du PGCD de deux nombres entiers plus efficaces, notamment la méthode des soustractions successives et l'algorithme d'Euclide qui sont détaillées dans la fiche suivante.




Nombres premiers entre eux :
Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Autrement dit, a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a ; b) = 1.

Exemple :

Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.
1 est l'unique diviseur commun à 14 et 15 donc 14 et 15 sont premiers entre eux.


Fractions irréductibles : une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Elle est alors simplifiée au maximum.
Soient a et b deux nombres entiers tels que a ≠ 0 et b ≠ 0. Pour rendre irréductible la fraction a b , il faut donc diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD de a et de b.

Exemples :

Ecrire la fraction 36 126 sous forme irréductible.
Réponse :
PGCD (36 ; 126) = 18. (Voir fiche suivante)
36 126 = 36 ÷ 18 126 ÷ 18 = 2 7


Exercices :
Diviseurs d'un nombre entier
Diviseurs communs à deux nombres entiers
PGCD de deux nombres entiers
Fractions irréductibles

Fiche précédente :
Fonctions affines
Fiche suivante :
Méthodes de calcul du PGCD